Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками.
У данного многогранника есть множество различных свойств:
- Его боковые ребра и прилегающие к ним двугранные углы равны между собой;
- Площади боковых граней одинаковы;
- В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат;
- Высота, опущенная из вершины пирамиды, пересекается с точкой пересечения диагоналей основания.
Все эти свойства помогают легко находить . Однако довольно часто помимо нее требуется рассчитать объем многогранника. Для этого применяется формула объема четырехугольной пирамиды:
То есть объем пирамиды равен одной третьей произведения высоты пирамиды на площадь основания. Так как равна произведению его равных сторон, то мы сразу вписываем в выражение объема формулу площади квадрата.
Рассмотрим пример расчета объема четырехугольной пирамиды.
Пусть дана четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной a
= 6 см. Боковая грань пирамиды равна b
= 8 см. Найдите объем пирамиды.
Чтобы найти объем заданного многогранника, нам потребуется длина его высоты. Поэтому мы найдем ее, применив теорему Пифагора. Для начала рассчитаем длину диагонали. В синем треугольнике она будет гипотенузой. Стоит также помнить, что диагонали квадрата равны между собой и в точке пересечения делятся пополам:
Теперь из красного треугольника найдем необходимую нам высоту h
. Она будет равна:
Подставим необходимые значения и найдем высоту пирамиды:
Теперь, зная высоту, можем подставлять все значения в формулу объема пирамиды и рассчитывать необходимую величину:
Вот таким образом, зная несколько простых формул, мы смогли рассчитать объем правильной четырехугольной пирамиды. Не забывайте, что данная величина измеряется в кубических единицах.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой .Еще такую пирамиду называют тетраэдром.
Правильная пирамида обладает множеством свойств, которые выводятся из составляющих ее фигур:
- Все стороны основания равны между собой, потому что оно представлено правильным треугольником;
- Все ребра пирамиды также равны между собой;
- Т.к. каждая грань образует равнобедренный треугольник, в котором ребра равны и основания равны, то можно сказать, что площадь каждой грани одинакова;
- Все двугранные углы при основании равны.
Рассчитывается, как сумма площадей основания и боковой развертки. Также ее можно найти, если рассчитать площадь одной из боковых граней и основания. Формула объема треугольной пирамиды также выводится из свойств треугольников, из которых она состоит:
Площадь основания рассчитывается из формулы :
Рассмотрим пример расчета объема треугольной пирамиды.
Пусть дана треугольная пирамида. Сторона основания равна a
= 2 см, а высота равна h
= 2√3. Найдите объем заданного многогранника.
Для начала найдем площадь основания. Для этого подставим известные данные в приведенную выше формулу:
Теперь используем найденное значение для расчета объема треугольной пирамиды:
Для расчета площади треугольной пирамиды можно также использовать сокращенную формулу. В ней совмещаются площадь основания и высота, а читается такая формула как треть произведения площади основания на высоту пирамиды:
Используя эту формулу, важно строго следить за подсчетами и сокращениями. Одна маленькая ошибка может привести к неверному результату. В целом, найти объем правильной треугольной пирамиды очень просто.
Одной из самых простых объемных фигур является треугольная пирамида, поскольку она состоит из наименьшего числа граней, из которого можно образовать фигуру в пространстве. В данной статье рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти объем треугольной правильной пирамиды.
Треугольная пирамида
Согласно общему определению пирамида представляет собой многоугольник, все вершины которого соединены с одной точкой, не расположенной в плоскости этого многоугольника. Если последний представляет собой треугольник, то вся фигура называется треугольной пирамидой.
Рассматриваемая пирамида состоит из основания (треугольника) и трех боковых граней (треугольников). Точка, в которой соединены три боковые грани, называется вершиной фигуры. Опущенный на основание перпендикуляр из этой вершины является высотой пирамиды. Если точка пересечения перпендикуляра с основанием совпадает с точкой пересечения медиан треугольника в основании, тогда говорят о правильной пирамиде. В противном случае она будет наклонной.
Как было сказано, основание треугольной пирамиды может представлять собой треугольник общего типа. Однако если он является равносторонним, а сама пирамида прямой, тогда говорят о правильной объемной фигуре.
Любая треугольная пирамида имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Если длины всех ребер равны между собой, тогда такая фигура называется тетраэдром.
общего типа
Прежде чем записать правильной треугольной пирамиды, приведем выражение этой физической величины для пирамиды общего типа. Это выражение имеет вид:
Здесь S o - площадь основания, h - высота фигуры. Это равенство будет справедливым для любого типа основания многоугольника пирамиды, а также для конуса. Если же в основании находится треугольник, имеющий длину стороны a и высоту h o , опущенную на нее, тогда формула для объема запишется так:
Формулы объема правильной треугольной пирамиды
Правильная пирамида треугольная имеет равносторонний треугольник в основании. Известно, что высота этого треугольника связана с длиной его стороны равенством:
Подставляя это выражение в формулу для объема треугольной пирамиды, записанную в предыдущем пункте, получаем:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
Объем правильной пирамиды с треугольным основанием является функцией длины стороны основания и высоты фигуры.
Поскольку любой правильный многоугольник можно вписать в окружность, радиус которой однозначно определит длину стороны многоугольника, тогда эту формулу можно записать через соответствующий радиус r:
Эту формулу легко получить из предыдущей, если учесть, что радиус r описанной окружности через длину стороны a треугольника определяется выражением:
Задача на определение объема тетраэдра
Покажем, как использовать приведенные выше формулы при решении конкретных задач геометрии.
Известно, что тетраэдр имеет длину ребра 7 см. Найдите объем правильной треугольной пирамиды-тетраэдра.
Напомним, что тетраэдр является правильной в которой все основания равны между собой. Чтобы воспользоваться формулой объема треугольной, необходимо вычислить две величины:
- длину стороны треугольника;
- высоту фигуры.
Первая величина известна из условия задачи:
Чтобы определить высоту, рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке.
Отмеченный треугольник ABC является прямоугольным, где угол ABC равен 90 o . Сторона AC - это гипотенуза, длина которой равна a. Путем несложных геометрических рассуждений можно показать, что сторона BC имеет длину:
Заметим, что длина BC является радиусом описанной вокруг треугольника окружности.
h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).
Теперь можно h и a подставить в соответствующую формулу для объема:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Таким образом, мы получили формулу объема тетраэдра. Видно, что объем зависит только от длины ребра. Если в выражение подставить значение из условия задачи, тогда получаем ответ:
V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 см 3 .
Если сравнить эту величину с объемом куба, имеющим такое же ребро, то получим, что объем тетраэдра в 8,5 раз меньше. Это свидетельствует о том, что тетраэдр является компактной фигурой, которая реализуется в некоторых природных веществах. Например, молекула метана имеет тетраэдрическую форму, а каждый атом углерода в алмазе соединен с четырьмя другими атомами, образующими тетраэдр.
Задача с гомотетичными пирамидами
Решим одну любопытную геометрическую задачу. Предположим, что имеется треугольная правильная пирамида с некоторым объемом V 1 . Во сколько раз следует уменьшить размеры этой фигуры, чтобы получить гомотетичную ей пирамиду с объемом, в три раза меньшим исходного?
Задачу начнем решать с записи формулы для исходной правильной пирамиды:
V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .
Пусть необходимый по условию задачи объем фигуры получится, если умножить ее параметры на коэффициент k. Имеем:
V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .
Поскольку из условия известно отношение объемов фигур, то получаем значение коэффициента k:
k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ≈ 0,693.
Отметим, что аналогичное значение коэффициента k мы бы получили для пирамиды произвольного типа, а не только для правильной треугольной.
Главной характеристикой любой геометрической фигуры в пространстве является ее объем. В данной статье рассмотрим, что собой представляет пирамида с треугольником в основании, а также покажем, как находить объем треугольной пирамиды - правильной полной и усеченной.
Что это - треугольная пирамида?
Каждый слышал о древних египетских пирамидах, тем не менее они являются четырехугольными правильными, а не треугольными. Объясним, как получить треугольную пирамиду.
Возьмем произвольный треугольник и соединим все его вершины с некоторой одной точкой, расположенной вне плоскости этого треугольника. Образованная фигура будет называться треугольной пирамидой. Она показана на рисунке ниже.
Как видно, рассматриваемая фигура образована четырьмя треугольниками, которые в общем случае являются разными. Каждый треугольник - это стороны пирамиды или ее грань. Эту пирамиду часто называют тетраэдром, то есть четырехгранной объемной фигурой.
Помимо сторон, пирамида также обладает ребрами (их у нее 6) и вершинами (их 4).
с треугольным основанием
Фигура, которая получена с использованием произвольного треугольника и точки в пространстве, будет неправильной наклонной пирамидой в общем случае. Теперь представим, что исходный треугольник имеет одинаковые стороны, а точка пространства расположена точно над его геометрическим центром на расстоянии h от плоскости треугольника. Построенная с использованием этих исходных данных пирамида будет правильной.
Очевидно, что число ребер, сторон и вершин у правильной треугольной пирамиды будет таким же, как у пирамиды, построенной из произвольного треугольника.
Однако правильная фигура обладает некоторыми отличительными чертами:
- ее высота, проведенная из вершины, точно пересечет основание в геометрическом центре (точка пересечения медиан);
- боковая поверхность такой пирамиды образована тремя одинаковыми треугольниками, которые являются равнобедренными или равносторонними.
Правильная треугольная пирамида является не только чисто теоретическим геометрическим объектом. Некоторые структуры в природе имеют ее форму, например кристаллическая решетка алмаза, где атом углерода соединен с четырьмя такими же атомами ковалентными связями, или молекула метана, где вершины пирамиды образованы атомами водорода.
треугольной пирамиды
Определить объем совершенно любой пирамиды с произвольным n-угольником в основании можно с помощью следующего выражения:
Здесь символ S o обозначает площадь основания, h - это высота фигуры, проведенная к отмеченному основанию из вершины пирамиды.
Поскольку площадь произвольного треугольника равна половине произведения длины его стороны a на апофему h a , опущенную на эту сторону, то формула объема треугольной пирамиды может быть записана в следующем виде:
V = 1/6 × a × h a × h
Для общего типа определение высоты является непростой задачей. Для ее решения проще всего воспользоваться формулой расстояния между точкой (вершиной) и плоскостью (треугольным основанием), представленной уравнением общего вида.
Для правильной имеет конкретный вид. Площадь основания (равностороннего треугольника) для нее равна:
Подставляем ее в общее выражение для V, получаем:
V = √3/12 × a 2 × h
Частным случаем является ситуация, когда у тетраэдра все стороны оказываются одинаковыми равносторонними треугольниками. В этом случае определить его объем можно, только исходя из знания параметра его ребра a. Соответствующее выражение имеет вид:
Усеченная пирамида
Если верхнюю часть, содержащую вершину, отсечь у правильной треугольной пирамиды, то получится усеченная фигура. В отличие от исходной она будет состоять из двух равносторонних треугольных оснований и трех равнобедренных трапеций.
Ниже на фото показано, как выглядит правильная усеченная пирамида треугольная, изготовленная из бумаги.
Для определения объема треугольной пирамиды усеченной необходимо знать три ее линейных характеристики: каждую из сторон оснований и высоту фигуры, равную расстоянию между верхним и нижним основаниями. Соответствующая формула для объема записывается так:
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Здесь h - высота фигуры, A и a - длины сторон большого (нижнего) и малого (верхнего) равносторонних треугольников соответственно.
Решение задачи
Чтобы приведенная информация в статье была понятнее для читателя, покажем на наглядном примере, как пользоваться некоторыми из записанных формул.
Пусть объем треугольной пирамиды равен 15 см 3 . Известно, что фигура является правильной. Следует найти апофему a b бокового ребра, если известно, что высота пирамиды составляет 4 см.
Поскольку известны объем и высота фигуры, то можно воспользоваться соответствующей формулой для вычисления длины стороны ее основания. Имеем:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 см
a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 см
Рассчитанная длина апофемы фигуры получилась больше ее высоты, что справедливо для пирамиды любого типа.