Касательная к окружности. Окружность. Основные теоремы Касательная к окружности определение свойство признак

Понятие касательной к окружности

Окружность имеет три возможных взаимных расположений относительно прямой:

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.

Введем теперь понятие касательной прямой к окружности.

Определение 1

Касательной к окружности называется прямая, которая имеет с ней одну точку пересечения.

Общая точка окружности и касательной называется точкой касания (рис 1).

Рисунок 1. Касательная к окружности

Теоремы, связанные с понятием касательной к окружности

Теорема 1

Теорема о свойстве касательной : касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство.

Рассмотрим окружность с центром $O$. Проведем в точке $A$ касательную $a$. $OA=r$ (Рис. 2).

Докажем, что $a\bot r$

Будем доказывать теорему методом «от противного». Предположим, что касательная $a$ не перпендикулярна радиусу окружности.

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

То есть $OA$ - наклонная к касательной. Так как перпендикуляр к прямой $a$ всегда меньше наклонной к этой же прямой, то расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса. Как нам известно, в этом случае прямая имеет две точки пересечения с окружностью. Что противоречит определению касательной.

Следовательно, касательная перпендикулярна к радиусу окружности.

Теорема доказана.

Теорема 2

Обратная теореме о свойстве касательной : Если прямая, проходящая через конец радиуса какой-либо окружности перпендикулярна радиусу, то данная прямая является касательной к этой окружности.

Доказательство.

По условию задачи мы имеем, что радиус -- перпендикуляр, проведенный из центра окружности к данной прямой. Следовательно, расстояние от центра окружности до прямой равняется длине радиуса. Как мы знаем, в этом случае окружность имеет только одну точку пересечения с этой прямой. По определению 1 и получаем, что данная прямая -- касательная к окружности.

Теорема доказана.

Теорема 3

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Доказательство.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Из точки $A$ (лежащей все окружности) проведены две различные касательные. Из точки касания соответственно $B$ и $C$ (Рис. 3).

Докажем, что $\angle BAO=\angle CAO$ и что $AB=AC$.

Рисунок 3. Иллюстрация теоремы 3

По теореме 1, имеем:

Следовательно, треугольники $ABO$ и $ACO$ -- прямоугольные. Так как$OB=OC=r$, а гипотенуза $OA$ -- общая, то эти треугольники равны по гипотенузе и катету.

Отсюда и получаем, что $\angle BAO=\angle CAO$ и $AB=AC$.

Теорема доказана.

Пример задачи на понятие касательной к окружности

Пример 1

Дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r=3\ см$. Касательная $AC$ имеет точку касания $C$. $AO=4\ см$. Найти $AC$.

Решение.

Изобразим вначале все на рисунке (Рис. 4).

Рисунок 4.

Так как $AC$ касательная, а $OC$ радиус, то по теореме 1, получаем, что$\angle ACO={90}^{{}^\circ }$. Получили, что треугольник $ACO$ -- прямоугольный, значит, по теореме Пифагора, имеем:

\[{AC}^2={AO}^2+r^2\] \[{AC}^2=16+9\] \[{AC}^2=25\] \

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Точки $x\_0\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$, и дифференцируема в ней: $f\; \backslash in\; \backslash mathcal\{D\}(x\_0)$. Касательной прямой к графику функции $f$ в точке $x\_0$ называется график линейной функции , задаваемый уравнением $y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"(x\_0)(x-x\_0),\backslash quad\; x\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$.

Если функция $f$ имеет в точке $x\_0$ бесконечную производную $f"(x\_0)\; =\; \backslash pm\; \backslash infty,$ то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением $x\; =\; x\_0.$

Замечание

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку $(x\_0,f(x\_0))$. Угол $\backslash alpha$ между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

$\backslash operatorname\{tg\}\backslash ,\backslash alpha\; =\; f"(x\_0)=\; k,$

где $\backslash operatorname\{tg\}$ обозначает тангенс , а $\backslash operatorname\; \{k\}$ - коэффициент наклона касательной. Производная в точке $x\_0$ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции $y\; =\; f(x)$ в этой точке.

Касательная как предельное положение секущей

Пусть $f\backslash colon\; U(x\_0)\; \backslash to\; \backslash R$ и $x\_1\; \backslash in\; U(x\_0).$ Тогда прямая линия, проходящая через точки $(x\_0,f(x\_0))$ и $(x\_1,f(x\_1))$ задаётся уравнением

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; \backslash frac\{f(x\_1)\; -\; f(x\_0)\}\{x\_1\; -\; x\_0\}(x-x\_0).$

Эта прямая проходит через точку $(x\_0,f(x\_0))$ для любого $x\_1\backslash in\; U(x\_0),$ и её угол наклона $\backslash alpha(x\_1)$ удовлетворяет уравнению

$\backslash operatorname\{tg\}\backslash ,\backslash alpha(x\_1)\; =\; \backslash frac\{f(x\_1)\; -\; f(x\_0)\}\{x\_1\; -\; x\_0\}.$

В силу существования производной функции $f$ в точке $x\_0,$ переходя к пределу при $x\_1\; \backslash to\; x\_0,$ получаем, что существует предел

$\backslash lim\backslash limits\_\{x\_1\; \backslash to\; x\_0\}\; \backslash operatorname\{tg\}\backslash ,\backslash alpha(x\_1)\; =\; f"(x\_0),$

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

$\backslash alpha\; =\; \backslash operatorname\{arctg\}\backslash ,f"(x\_0).$

Прямая, проходящая через точку $(x\_0,f(x\_0))$ и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий $\backslash operatorname\{tg\}\backslash ,\backslash alpha\; =\; f"(x\_0),$ задаётся уравнением касательной:

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"(x\_0)(x-x\_0).$

Касательная к окружности

Прямая , имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

Свойства

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу , проведённому в точку касания.
2. Отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности.
3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с лучом, проведённым из центра окружности, является тангенсом угла между этим лучом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens - «касательная».

Вариации и обобщения

Односторонние полукасательные

• Если существует правая производная то пра́вой полукаса́тельной к графику функции $f$ в точке $x\_0$ называется луч

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"\_+(x\_0)(x\; -\; x\_0),\backslash quad\; x\; \backslash geqslant\; x\_0.$

• Если существует левая производная то ле́вой полукаса́тельной к графику функции $f$ в точке $x\_0$ называется луч

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"\_-(x\_0)(x\; -\; x\_0),\backslash quad\; x\; \backslash leqslant\; x\_0.$

• Если существует бесконечная правая производная $f"\_+(x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$ $f$ в точке $x\_0$ называется луч

$x\; =\; x\_0,\; \backslash ;\; y\; \backslash geqslant\; f(x\_0)\backslash ;\; (y\; \backslash leqslant\; f(x\_0)).$

• Если существует бесконечная левая производная $f"\_-(x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$ то правой полукасательной к графику функции $f$ в точке $x\_0$ называется луч

$x\; =\; x\_0,\; \backslash ;\; y\; \backslash leqslant\; f(x\_0)\backslash ;\; (y\; \backslash geqslant\; f(x\_0)).$

См. также

• Нормаль , бинормаль

Напишите отзыв о статье "Касательная прямая"

Литература

• Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. - Физматкнига, 2012. - ISBN 9785891552135 .
• // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). - СПб. , 1890-1907.

Отрывок, характеризующий Касательная прямая

– По местам! – крикнул молоденький офицер на собравшихся вокруг Пьера солдат. Молоденький офицер этот, видимо, исполнял свою должность в первый или во второй раз и потому с особенной отчетливостью и форменностью обращался и с солдатами и с начальником.
Перекатная пальба пушек и ружей усиливалась по всему полю, в особенности влево, там, где были флеши Багратиона, но из за дыма выстрелов с того места, где был Пьер, нельзя было почти ничего видеть. Притом, наблюдения за тем, как бы семейным (отделенным от всех других) кружком людей, находившихся на батарее, поглощали все внимание Пьера. Первое его бессознательно радостное возбуждение, произведенное видом и звуками поля сражения, заменилось теперь, в особенности после вида этого одиноко лежащего солдата на лугу, другим чувством. Сидя теперь на откосе канавы, он наблюдал окружавшие его лица.
К десяти часам уже человек двадцать унесли с батареи; два орудия были разбиты, чаще и чаще на батарею попадали снаряды и залетали, жужжа и свистя, дальние пули. Но люди, бывшие на батарее, как будто не замечали этого; со всех сторон слышался веселый говор и шутки.
– Чиненка! – кричал солдат на приближающуюся, летевшую со свистом гранату. – Не сюда! К пехотным! – с хохотом прибавлял другой, заметив, что граната перелетела и попала в ряды прикрытия.
– Что, знакомая? – смеялся другой солдат на присевшего мужика под пролетевшим ядром.
Несколько солдат собрались у вала, разглядывая то, что делалось впереди.
– И цепь сняли, видишь, назад прошли, – говорили они, указывая через вал.
– Свое дело гляди, – крикнул на них старый унтер офицер. – Назад прошли, значит, назади дело есть. – И унтер офицер, взяв за плечо одного из солдат, толкнул его коленкой. Послышался хохот.
– К пятому орудию накатывай! – кричали с одной стороны.
– Разом, дружнее, по бурлацки, – слышались веселые крики переменявших пушку.
– Ай, нашему барину чуть шляпку не сбила, – показывая зубы, смеялся на Пьера краснорожий шутник. – Эх, нескладная, – укоризненно прибавил он на ядро, попавшее в колесо и ногу человека.
– Ну вы, лисицы! – смеялся другой на изгибающихся ополченцев, входивших на батарею за раненым.
– Аль не вкусна каша? Ах, вороны, заколянились! – кричали на ополченцев, замявшихся перед солдатом с оторванной ногой.
– Тое кое, малый, – передразнивали мужиков. – Страсть не любят.
Пьер замечал, как после каждого попавшего ядра, после каждой потери все более и более разгоралось общее оживление.
Как из придвигающейся грозовой тучи, чаще и чаще, светлее и светлее вспыхивали на лицах всех этих людей (как бы в отпор совершающегося) молнии скрытого, разгорающегося огня.
Пьер не смотрел вперед на поле сражения и не интересовался знать о том, что там делалось: он весь был поглощен в созерцание этого, все более и более разгорающегося огня, который точно так же (он чувствовал) разгорался и в его душе.
В десять часов пехотные солдаты, бывшие впереди батареи в кустах и по речке Каменке, отступили. С батареи видно было, как они пробегали назад мимо нее, неся на ружьях раненых. Какой то генерал со свитой вошел на курган и, поговорив с полковником, сердито посмотрев на Пьера, сошел опять вниз, приказав прикрытию пехоты, стоявшему позади батареи, лечь, чтобы менее подвергаться выстрелам. Вслед за этим в рядах пехоты, правее батареи, послышался барабан, командные крики, и с батареи видно было, как ряды пехоты двинулись вперед.
Пьер смотрел через вал. Одно лицо особенно бросилось ему в глаза. Это был офицер, который с бледным молодым лицом шел задом, неся опущенную шпагу, и беспокойно оглядывался.
Ряды пехотных солдат скрылись в дыму, послышался их протяжный крик и частая стрельба ружей. Через несколько минут толпы раненых и носилок прошли оттуда. На батарею еще чаще стали попадать снаряды. Несколько человек лежали неубранные. Около пушек хлопотливее и оживленнее двигались солдаты. Никто уже не обращал внимания на Пьера. Раза два на него сердито крикнули за то, что он был на дороге. Старший офицер, с нахмуренным лицом, большими, быстрыми шагами переходил от одного орудия к другому. Молоденький офицерик, еще больше разрумянившись, еще старательнее командовал солдатами. Солдаты подавали заряды, поворачивались, заряжали и делали свое дело с напряженным щегольством. Они на ходу подпрыгивали, как на пружинах.

Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.

Определение 1

Угол наклона прямой y = k x + b называется угол α , который отсчитывается от положительного направления оси о х к прямой y = k x + b в положительном направлении.

На рисунке направление о х обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

Определение 2

Угловой коэффициент прямой y = k x + b называют числовым коэффициентом k .

Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k = t g α .

• Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности о х и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0 . Значит, вид уравнения будет y = b .
• Если угол наклона прямой y = k x + b острый, тогда выполняются условия 0 < α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α > 0 , причем имеется возрастание графика.
• Если α = π 2 , тогда расположение прямой перпендикулярно о х. Равенство задается при помощи равенства x = c со значением с, являющимся действительным числом.
• Если угол наклона прямой y = k x + b тупой, то соответствует условиям π 2 < α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Определение 3

Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f (x) . Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.

По рисунку видно, что А В является секущей, а f (x) – черная кривая, α - красная дуга, означающая угол наклона секущей.

Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника А В С можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

Определение 4

Получаем формулу для нахождения секущей вида:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , где абсциссами точек А и В являются значения x A , x B , а f (x A) , f (x B) - это значения функции в этих точках.

Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k = f (x B) - f (x A) x B - x A или k = f (x A) - f (x B) x A - x B , причем уравнение необходимо записать как y = f (x B) - f (x A) x B - x A · x - x A + f (x A) или
y = f (x A) - f (x B) x A - x B · x - x B + f (x B) .

Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А, от А до В, справа от В. На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.

По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у = 0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

Определение 5

Касательная к графику функции f (x) в точке x 0 ; f (x 0) называется прямая, проходящая через заданную точку x 0 ; f (x 0) , с наличием отрезка, который имеет множество значений х, близких к x 0 .

Пример 1

Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y = x + 1 , считается касательной к y = 2 x в точке с координатами (1 ; 2) . Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к (1 ; 2) значениями. Функция y = 2 x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.

Очевидно, что y = 2 x сливается с прямой у = х + 1 .

Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной А В при бесконечном приближении точки В к точке А. Для наглядности приведем рисунок.

Секущая А В, обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной α x .

Определение 6

Касательной к графику функции y = f (x) в точке А считается предельное положение секущей А В при В стремящейся к А, то есть B → A .

Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

Перейдем к рассмотрению секущей А В для функции f (x) , где А и В с координатами x 0 , f (x 0) и x 0 + ∆ x , f (x 0 + ∆ x) , а ∆ x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Для наглядности приведем в пример рисунок.

Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник А В С. Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆ y ∆ x = t g α . Из определения касательной следует, что lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . По правилу производной в точке имеем, что производную f (x) в точке x 0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆ x → 0 , тогда обозначим как f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Отсюда следует, что f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x , где k x обозначают в качестве углового коэффициента касательной.

То есть получаем, что f ’ (x) может существовать в точке x 0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x 0 , f 0 (x 0) , где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x 0 . Тогда получаем, что k x = f " (x 0) .

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x 0 при пересечении.

Уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке x 0 , f 0 (x 0) принимает вид y = f " (x 0) · x - x 0 + f (x 0) .

Имеется в виду, что конечным значением производной f " (x 0) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ и lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ или отсутствие вовсе при условии lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента k x = f " (x 0) . При параллельности к оси о х получаем, что k k = 0 , при параллельности к о у - k x = ∞ , причем вид уравнения касательной x = x 0 возрастает при k x > 0 , убывает при k x < 0 .

Пример 2

Произвести составление уравнения касательной к графику функции y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 в точке с координатами (1 ; 3) с определением угла наклона.

Решение

По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, (1 ; 3) является точкой касания, тогда x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Необходимо найти производную в точке со значением - 1 . Получаем, что

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Значение f ’ (x) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.

Тогда k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Отсюда следует, что α x = a r c t g 3 3 = π 6

Ответ: уравнение касательной приобретает вид

y = f " (x 0) · x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.

Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.

Пример 3

Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y = 3 · x - 1 5 + 1 в точке с координатами (1 ; 1) . Составить уравнение и определить угол наклона.

Решение

По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.

Перейдем к нахождению производной

y " = 3 · x - 1 5 + 1 " = 3 · 1 5 · (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 · 1 (x - 1) 4 5

Если x 0 = 1 , тогда f ’ (x) не определена, но пределы записываются как lim x → 1 + 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ и lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , что означает существование вертикальной касательной в точке (1 ; 1) .

Ответ: уравнение примет вид х = 1 , где угол наклона будет равен π 2 .

Для наглядности изобразим графически.

Пример 4

Найти точки графика функции y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , где

1. Касательная не существует;
2. Касательная располагается параллельно о х;
3. Касательная параллельна прямой y = 8 5 x + 4 .

Решение

Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x ∈ - ∞ ; 2 и [ - 2 ; + ∞) . Получаем, что

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Когда х = - 2 , тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Вычисляем значение функции в точке х = - 2 , где получаем, что

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2 , то есть касательная в точке (- 2 ; - 2) не будет существовать.
2. Касательная параллельна о х, когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда k x = t g α x = f " (x 0) . То есть необходимо найти значения таких х, когда производная функции обращает ее в ноль. То есть значения f ’ (x) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной о х.

Когда x ∈ - ∞ ; - 2 , тогда - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , а при x ∈ (- 2 ; + ∞) получаем 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 · 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; + ∞

Вычисляем соответствующие значения функции

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 · 1 2 - 16 5 · 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 · 3 2 - 16 5 · 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Отсюда - 5 ; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 8 5 , 3 ; 4 3 считаются искомыми точками графика функции.

Рассмотрим графическое изображение решения.

Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.

1. Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 8 5 . Для этого нужно решить уравнение вида y " (x) = 8 5 . Тогда, если x ∈ - ∞ ; - 2 , получаем, что - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5 , а если x ∈ (- 2 ; + ∞) , тогда 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 · 43 = - 28 < 0

Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; + ∞

Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 · 5 2 - 16 5 · 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Точки со значениями - 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y = 8 5 x + 4 .

Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y = 8 5 x + 4 , синяя линия – касательные в точках - 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 .

Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

Пример 5

Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , которые располагаются перпендикулярно прямой y = - 2 x + 1 2 .

Решение

Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется - 1 , то есть записывается как k x · k ⊥ = - 1 . Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой и равняется k ⊥ = - 2 , тогда k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х, после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной в точке
x 0 получаем, что k x = y " (x 0) . Из данного равенства найдем значения х для точек касания.

Получаем, что

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 · - sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 · sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 = - 9 2 · sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 · sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk или x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z - множество целых чисел.

Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 · 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 или y 0 = 3 · - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 · 1 - - 1 9 2 - 1 3 или y 0 = 3 · - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 или y 0 = - 4 5 + 1 3

Отсюда получаем, что 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 являются точками касания.

Ответ: необходимы уравнения запишутся как

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.

Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [ - 10 ; 10 ] , где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y = - 2 x + 1 2 . Красные точки – это точки касания.

Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

Касательная к окружности

Для задания окружности с центром в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и радиусом R применяется формула x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

Для составления уравнения окружности в точке x 0 ; y 0 , которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r или y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r в указанной точке.

Когда в точках x c e n t e r ; y c e n t e r + R и x c e n t e r ; y c e n t e r - R касательные могут быть заданы уравнениями y = y c e n t e r + R и y = y c e n t e r - R , а в точках x c e n t e r + R ; y c e n t e r и
x c e n t e r - R ; y c e n t e r будут являться параллельными о у, тогда получим уравнения вида x = x c e n t e r + R и x = x c e n t e r - R .

Касательная к эллипсу

Когда эллипс имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r с полуосями a и b , тогда он может быть задан при помощи уравнения x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны о х или о у. Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.

Пример 6

Написать уравнение касательной к эллипсу x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 в точках со значениями x равного х = 2 .

Решение

Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х = 2 . Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 · 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Тогда 2 ; 5 3 2 + 5 и 2 ; - 5 3 2 + 5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.

Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y . Получим, что

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 · 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 · 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , а нижний y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2 ; 5 3 2 + 5 будет иметь вид

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 · 1 2 4 - (x - 3) 2 · 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 · x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 · 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) · x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2 ; - 5 3 2 + 5 принимает вид

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 · 1 2 4 - (x - 3) 2 · 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 · x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 · 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) · x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Графически касательные обозначаются так:

Касательная к гиперболе

Когда гипербола имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и вершины x c e n t e r + α ; y c e n t e r и x c e n t e r - α ; y c e n t e r , имеет место задание неравенства x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 , если с вершинами x c e n t e r ; y c e n t e r + b и x c e n t e r ; y c e n t e r - b , тогда задается при помощи неравенства x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r или y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

В первом случае имеем, что касательные параллельны о у, а во втором параллельны о х.

Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

Пример 7

Составить уравнение касательной к гиперболе x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 в точке 7 ; - 3 3 - 3 .

Решение

Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 · x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 · x - 3 2 - 4 и л и y + 3 = - 3 2 · x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 · x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 · x - 3 2 - 4 - 3

Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7 ; - 3 3 - 3 .

Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.

Для второй функции имеем, что y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.

Получаем, что

y " = - 3 2 · (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 · x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 · x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 · 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Ответ: уравнение касательной можно представить как

y = - 3 · x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 · x + 4 3 - 3

Наглядно изображается так:

Касательная к параболе

Чтобы составить уравнение касательной к параболе y = a x 2 + b x + c в точке x 0 , y (x 0) , необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y = y " (x 0) · x - x 0 + y (x 0) . Такая касательная в вершине параллельна о х.

Следует задать параболу x = a y 2 + b y + c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у. Получаем, что

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Графически изобразим как:

Для выяснения принадлежности точки x 0 , y (x 0) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна о у относительно параболы.

Пример 8

Написать уравнение касательной к графику x - 2 y 2 - 5 y + 3 , когда имеем угол наклона касательной 150 ° .

Решение

Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x 0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.

Получаем:

k x = y " (x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Отсюда определим значение х для точек касания.

Первая функция запишется как

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150 ° для такой функции не существует.

Вторая функция запишется как

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 · 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Имеем, что точки касания - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Ответ: уравнение касательной принимает вид

y = - 1 3 · x - 23 4 + - 5 + 3 4

Графически изобразим это таким образом:

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Секущие, касательные - все это сотни раз можно было слышать на уроках геометрии. Но выпуск из школы позади, проходят года, и все эти знания забываются. Что следует вспомнить?

Сущность

Термин "касательная к окружности" знаком, наверное, всем. Но вряд ли у всех получится быстро сформулировать его определение. Между тем касательной называют такую прямую, лежащую в одной плоскости с окружностью, которая пересекает ее только в одной точке. Их может существовать огромное множество, но все они обладают одинаковыми свойствами, о которых речь пойдет ниже. Как нетрудно догадаться, точкой касания называют то место, где окружность и прямая пересекаются. В каждом конкретном случае она одна, если же их больше, то это будет уже секущая.

История открытия и изучения

Понятие касательной появилось еще в древности. Построение этих прямых сначала к окружности, а потом к эллипсам, параболам и гиперболам с помощью линейки и циркуля проводилось еще на начальных этапах развития геометрии. Разумеется, история не сохранила имя первооткрывателя, но очевидно, что еще в то время людям были вполне известны свойства касательной к окружности.

В Новое время интерес к этому явлению разгорелся вновь - начался новый виток изучения этого понятия в сочетании с открытием новых кривых. Так, Галилей ввел понятие циклоиды, а Ферма и Декарт построили к ней касательную. Что же касается окружностей, кажется, еще для древних не осталось секретов в этой области.

Свойства

Радиус, проведенный в точку пересечения, будет Это

основное, но не единственное свойство, которое имеет касательная к окружности. Еще одна важная особенность включает в себя уже две прямые. Так, через одну точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные, при этом их отрезки будут равны. Есть и еще одна теорема по этой теме, однако ее редко проходят в рамках стандартного школьного курса, хотя для решения некоторых задач она крайне удобна. Звучит она следующим образом. Из одной точки, расположенной вне окружности, проведены касательная и секущая к ней. Образуются отрезки AB, AC и AD. А - пересечение прямых, B точка касания, C и D - пересечения. В этом случае будет справедливым следующее равенство: длина касательной к окружности, возведенная в квадрат, будет равна произведению отрезков AC и AD.

Из вышесказанного есть важное следствие. Для каждой точки окружности можно построить касательную, но при этом только одну. Доказательство этого достаточно просто: теоретически опустив на нее перпендикуляр из радиуса, выясняем, что образованный треугольник существовать не может. И это значит, что касательная - единственная.

Построение

Среди прочих задач по геометрии есть особая категория, как правило, не

пользующаяся любовью учеников и студентов. Для решения заданий из этой категории нужны лишь циркуль и линейка. Это задачи на построение. Есть они и на построение касательной.

Итак, даны окружность и точка, лежащая вне ее границ. И необходимо провести через них касательную. Как же это сделать? Прежде всего, нужно провести отрезок между центром окружности О и заданной точкой. Затем с помощью циркуля следует разделить его пополам. Чтобы это сделать, необходимо задать радиус - чуть более половины расстояния между центром изначальной окружности и данной точкой. После этого нужно построить две пересекающиеся дуги. Причем радиус у циркуля менять не надо, а центром каждой части окружности будут изначальная точка и О соответственно. Места пересечений дуг нужно соединить, что разделит отрезок пополам. Задать на циркуле радиус, равный этому расстоянию. Далее с центром в точке пересечения построить еще одну окружность. На ней будет лежать как изначальная точка, так и О. При этом будет еще два пересечения с данной в задаче окружностью. Именно они и будут точками касания для изначально заданной точки.

Именно построение касательных к окружности привело к рождению

дифференциального исчисления. Первый труд по этой теме был опубликован известным немецким математиком Лейбницем. Он предусматривал возможность нахождения максимумов, минимумов и касательных вне зависимости от дробных и иррациональных величин. Что ж, теперь оно используется и для многих других вычислений.

Кроме того, касательная к окружности связана с геометрическим смыслом тангенса. Именно от этого и происходит его название. В переводе с латыни tangens - "касательная". Таким образом, это понятие связано не только с геометрией и дифференциальным исчислением, но и с тригонометрией.

Две окружности

Не всегда касательная затрагивет лишь одну фигуру. Если к одной окружности можно провести огромное множество прямых, то почему же нельзя наоборот? Можно. Вот только задача в этом случае серьезно усложняется, ведь касательная к двум окружностям может проходить не через любые точки, а взаимное расположение всех этих фигур может быть очень

разным.

Типы и разновидности

Когда речь идет о двух окружностях и одной или нескольких прямых, то даже если известно, что это касательные, не сразу становится ясно, как все эти фигуры расположены по отношению друг к другу. Исходя из этого, различают несколько разновидностей. Так, окружности могут иметь одну или две общие точки или не иметь их вовсе. В первом случае они будут пересекаться, а во втором - касаться. И вот тут различают две разновидности. Если одна окружность как бы вложена во вторую, то касание называют внутренним, если нет - то внешним. Понять взаимное расположение фигур можно не только, исходя из чертежа, но и располагая информацией о сумме их радиусов и расстоянии между их центрами. Если две эти величины равны, то окружности касаются. Если первая больше - пересекаются, а если меньше - то не имеют общих точек.

Так же и с прямыми. Для любых двух окружностей, не имеющих общих точек, можно

построить четыре касательные. Две из них будут пересекаться между фигурами, они называются внутренними. Пара других - внешние.

Если речь идет об окружностях, которые имеют одну общую точку, то задача серьезно упрощается. Дело в том, что при любом взаимном расположении в этом случае касательная у них будет только одна. И проходить она будет через точку их пересечения. Так что построение трудности не вызовет.

Если же фигуры имеют две точки пересечения, то для них может быть построена прямая, касательная к окружности как одной, так и второй, но только внешняя. Решение этой проблемы аналогично тому, что будет рассмотрено далее.

Решение задач

Как внутренняя, так и внешняя касательная к двум окружностям, в построении не так уж просты, хоть эта проблема и решаема. Дело в том, что для этого используется вспомогательная фигура, так что додуматься до такого способа самостоятельно

довольно проблематично. Итак, даны две окружности с разным радиусом и центрами О1 и О2. Для них нужно построить две пары касательных.

Прежде всего, около центра большей окружности нужно построить вспомогательную. При этом на циркуле должна быть установлена разница между радиусами двух изначальных фигур. Из центра меньшей окружности строятся касательные к вспомогательной. После этого из О1 и О2 проводятся перепендикуляры к этим прямым до пересечения с изначальными фигурами. Как следует из основного свойства касательной, искомые точки на обеих окружностях найдены. Задача решена, по крайнем мере, ее первая часть.

Для того чтобы построить внутренние касательные, придется решить практически

аналогичную задачу. Снова понадобится вспомогательная фигура, однако на этот раз ее радиус будет равен сумме изначальных. К ней строятся касательные из центра одной из данных окружностей. Дальнейший ход решения можно понять из предыдущего примера.

Касательная к окружности или даже двум и больше - не такая уж сложная задача. Конечно, математики давно перестали решать подобные проблемы вручную и доверяют вычисления специальным программам. Но не стоит думать, что теперь необязательно уметь делать это самостоятельно, ведь для правильного формулирования задания для компьютера нужно многое сделать и понять. К сожалению, есть опасения, что после окончательного перехода на тестовую форму контроля знаний задачи на построение будут вызывать у учеников все больше трудностей.

Что же касается нахождения общих касательных для большего количества окружностей, это не всегда возможно, даже если они лежат в одной плоскости. Но в некоторых случаях можно найти такую прямую.

Примеры из жизни

Общая касательная к двум окружностям нередко встречается и на практике, хоть это и не всегда заметно. Конвейеры, блочные системы, передаточные ремни шкивов, натяжение нити в швейной машинке, да даже просто велосипедная цепь - все это примеры из жизни. Так что не стоит думать, что геометрические задачи остаются лишь в теории: в инженерном деле, физике, строительстве и многих других областях они находят практическое применение.