Секущие и хорды в окружности. Визуализированный гид (2020). Окружность. Основные теоремы Теорема если две хорды окружности пересекаются то

Окружность - геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка (O) называется центром окружности .
Радиус окружности - это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину (по определению).
Хорда - отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром . Центр окружности является серединой любого диаметра.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности . Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Длина единичной полуокружности обозначается через π .
Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º .
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом .
Круговой сектор - часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора .
Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими .
Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными .

Взаимное расположение прямой и окружности

1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .
3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек
.

Центральные и вписанные углы

Центральный угол - это угол с вершиной в центре окружности.
Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

• Следствие 1.
  Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.


• Следствие 2.
  Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой.

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Основные формулы

• Длина окружности:

C = 2∙π∙R

• Длина дуги окружности:

R = С/(2∙π) = D/2

• Диаметр:

D = C/π = 2∙R

• Длина дуги окружности:

l = (π∙R) / 180∙α ,
где α - градусная мера длины дуги окружности)

• Площадь круга:

S = π∙R 2

• Площадь кругового сектора:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Уравнение окружности

• В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (x о;y о) имеет вид:

(x - x о) 2 + (y - y о) 2 = r 2

• Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:

x 2 + y 2 = r 2

Часть 3. Окружности

I . Справочные материалы.

I . Свойства касательных, хорд и секущих. Вписанные и центральные углы.

Окружность и круг

1.Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней две касательные, то

а)длины отрезков от данной точки до точек касания равны;

б)углы между каждой касательной и секущей, проходящей через центр круга, равны.

2. Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней касательную и секущую, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

3. Если две хорды пересекаются в одной точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

4. Длина окружности С=2πR;

5. Длина дуги L =πRn/180˚

6. Площадь круга S=πR 2

7. Площадь сектора S c =πR 2 n/360

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Теорема 1. Мера угла между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключенной между его сторонами

Теорема 2 (о касательной и секущей). Если из точки М к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки М до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки М до точек её пересечения с окружностью.

Теорема 3 . Если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды, то есть если хорды АВ и СД пересекаются в точке М, то АВ МВ = СМ МД.

Свойства хорд окружности:

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Обратно: диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.

Равные хорды окружности находятся на равном расстоянии от центра окружности. Обратно: на равного расстоянии от центра окружности находятся равные хорды.

Дуги окружности, заключённые между параллельными хордами равны.

окружности, имеющие общую точку и общую касательную в этой точке, называются)касающимися Если окружности расположены по одну сторону от общей касательной, то они называются касающимися внутренне., а если по разные стороны от касательной, то они называются касающимися внешне.

II . Дополнительные материалы

Свойства некоторых углов.

Теорема.

1) Угол (АВС), вершина ко­торого лежит внутри круга, является полусуммой двух дуг (АС И DE), из которых одна заключена между его сторонами, а другая - между продолжениями сторон.

2) угол (АВС), вершина которого лежит вне круга и стороны пересекаются с окружностью, является полуразностью двух дуг (АС и ED), заключенных между его сторонами

Доказательство.

Проведя хорду АD (на том и на другом чертеже), мы получим ∆АВD,

относительно которого рассматриваемый угол АВС служит внешним, когда его вершина лежит внутри кру­га, и внутренним, когда его вер­шина лежит вне круга. Поэтому в первом случае: ; во втором случае:

Но углы АDС и DAE, как впи­санные, измеряются половинами дуг

АС и DE; поэтому угол АВС измеряется: в первом случае суммой: ½ ﬞ AС+1/2 ﬞ DE, которая равна 1 / 2 (ﮟ AC+ ﮞ DE), а во втором случае разностью 1 / 2 ﬞ AС­- 1 / 2 ﬞ DE, которая равна 1 / 2 (ﬞ AC- ﬞ DE).

Теорема . Угол (АCD), состав­ленный касательной и хордой, измеряется половиной ду­ги, заключенной внутри него.

Предположим сначала, что хорда СD проходит через центр О, Т.е. что хорда есть диаметр. Тогда угол АС D - прямой и, следовательно, равен 90°. Но и половина дуги СmD также равна 90°, так как целая дуга СmD, составляя полуокружность, содержит 180°. Значит теорема оправдывается в этом частном случае..

Теперь возьмем общий случай, когда хорда СD не проходит через центр. Проведя тогда диаметр СЕ, мы будем иметь:

Угол ACE, как составленный касательной и диаметром, измеряется, по доказанному, половиной дуги CDE; Угол DCE, как вписанный, измеряется половиной дуги CnED: разница в доказательстве только та, что этот угол надо рассматривать не как разность, а как сумму прямого угла ВСЕ и острого угла ECD.

Пропорциональные линии в круге

Теорема. Если через точку (М), взятую внутри круга, проведена какая-нибудь хорда (АВ) и диа­метр (CD), то произведение отрезков хорды (АМ МВ) равно произведению отрезков диаметра (МВ МС).

Доказательство.

П
роведя две вспомогательные хорды АС и ВD, мы получим два треугольника АМС и MBD (покрытые на рисунке штрихами), которые подобны, так как у них углы А и D равны, как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС, углы С и В равны, как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AD. Из подобия треугольников выводим:

АМ: МD=МС: МВ, откуда АМ МВ=МD МС.

Следствие. Если через точку (М), взятую внутри круга, проведено сколько угодно хорд (АВ, EF, KL,...), то произведение отрезков каждой хорды есть число постоянное для всех хорд, так как для каждой корды это произведение равно произведению отрезков диаметра CD, проходящего через взятую точку М.

Теорема. Если из точки (М), взятой вне круга, проведены к нему какая-нибудь секущая (МА) и касательная (МС), то произведение секущей на ее внеш­нюю часть равно квадрату касательной (предполагается, что секущая ограничена второй точкой пересечения, а касательная - точкой касания).

Доказательство.

Проведем вспомогательные хорды АС и ВС; тогда получим два треугольника МАС и МВС (покрытые на рисунке штрихами), которые подобны, потому что у них угол М об­щий и углы МСВ и САВ равны, так как каждый из них из­меряется половиной дуги ВС. Возьмем в ∆МАС стороны МА и МС; сходственными сторонами в ∆МВС будут МС и МВ; поэтому МА: МС=МС: МВ, откуда МА МВ=МС 2 .

Следствие. Если из точки (М), взятой вне круга, проведено к нему сколько угодно секущих (МА, MD, МЕ,...), то произведение каждой секущей на ее внеш­нюю часть есть число постоянное для всех секущих, так как для каждой секущей это произведение равно квадрату касательной (МС 2), проведенной из точки М.

III . Вводные задачи.

Задача 1.

В равнобедренной трапеции с острым углом в 60° боковая сторона равна , а меньшее основание - . Найдите радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Решение

1) Радиус окружности, описанной около трапеции, – одно и то же, что и радиус окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются любые три вершины трапеции. Найдем радиус R окружности, описанной около треугольника ABD .

2) ABCD – равнобедренная трапеция, поэтому AK = MD , KM =.

В ∆ABK AK = AB cos A = · cos 60° = . Значит,
AD = .

BK = AB sin A = · = .

3) По теореме косинусов в ∆ABD BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AB · AD cos A .

BD 2 = () 2 + (3) 2 – 2 · · 3 · = 21 + 9 · 21 – 3 · 21 = 7 · 21;
BD = .

4) S(∆ABD ) = AD · BK ; S(∆ABD ) = · · 3 = .

Задача 2.

В равносторонний треугольник ABC вписана окружность и проведен отрезок NM ,

M AC , N BC , который касается ее и параллелен стороне AB .

Определите периметр трапеции AMNB , если длина отрезка MN равна 6.

Решение.

1) ∆ABC – равносторонний, точка O – точка пересечения медиан (биссектрис, высот), значит, CO : OD = 2 : 1.

2) MN – касательная к окружности, P – точка касания, значит, OD =
= OP , тогда CD = 3 · CP .

3) ∆CMN ∾ ∆CAB , значит, ∆CMN – равносторонний CM = CN = MN = = 6; P .

А так же

3) BN = CB – CN = 18 – 6 = 12.

4) P (AMNB ) = AM + MN + BN + AB = 18 + 6 + 12 + 12 = 48.

Около окружности описана равнобокая трапеция, средняя линия которой равна 5, а синус острого угла при основании равен 0,8. Найдите площадь трапеции.

Решение. Так как окружность вписана в четырехугольник, то BC + AD = AB + CD . Этот четырехугольник – равнобокая трапеция, значит BC + AD = 2AB .

FP – средняя линия трапеции, значит, BC + AD = 2FP .

Тогда AB = CD = FP = 5.

∆ABK – прямоугольный, BK = AB sin A ; BK = 5 · 0,8 = 4.

S (ABCD ) = FP · BK = 5 · 4 = 20.

Ответ : 20.

Вписанная окружность треугольника АВС касается стороны ВС в точке К, а вневписанная – в точке L. Докажите, что CK=BL=(a+b+c)/2

Доказательство: пусть М и N –точки касания вписанной окружности со сторонами АВ и ВС. Тогда BK+AN=BM+AM=AB, поэтому СК+CN= a+b-c.

Пусть Р и Q – точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон АВ и ВС. Тогда АР=АВ+ВР=АВ+ВL и AQ=AC+CQ=AC+CL. Поэтому AP+AQ=a+b+c. Следовательно, BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2.

а) Продолжение биссектрисы угла В треугольника АВС пересекает описанную окружность в точке М. О - центр вписанной окружности. О В –центр вневписанной окружности, касающейся стороны АС. Докажите, что точки А, С, О и O В лежат на окружности с центром М.

Д
оказательство: Так как

б) Точка О, лежащая внутри треугольника АВС, обладает тем свойством, что прямые АО, ВО, СО проходят через центры описанных окружностей треугольников ВСО, АСО, АВО. Докажите, что О – центр вписанной окружности треугольника АВС

Доказательство: Пусть Р- центр описанной окружности треугольника АСО. Тогда

IV . Дополнительные задачи

№1. Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений его катетов, имеет радиус R. Найдите периметр треугольника

Решение: HOGB- квадрат со стороной R

1) ∆OAH =∆OAF по катету и гипотенузе =>HA=FA

2) ∆OCF=∆OCG =>CF=CG

3) P ABC =AB+AF+FC+BC=AB+AM+GC+BC+BH+BG=2R

№2. Точки C и D лежат на окружности с диаметром АВ. АС ∩ BD = Р, а AD ∩ BC = Q. Докажите, что прямые AB и PQ перпендикулярны

Доказательство: AD – диаметр => вписанный угол ADB=90 o (как опирающийся на диаметр)=> QD/QP=QN/QA; ∆QDP подобен ∆QNA по 2м сторонам и углу между ними=> QN перпендикулярна AB .

№3. В параллелограмме ABCD диагональ AC больше диагонали BD; М – точка диагонали AC, BDCM – вписанный четырехугольник.. Докажите, что прямая BD является общей касательной к описанным окружностям треугольников ABM и ADM

П
усть О – точка пересечения диагоналей АС и ВD. Тогда MO· OC=BO· ОD. Тогда как ОС=ОА и ВО=ВD, то МО· ОА=ВО 2 и МО· ОА=DO 2 . Эти равенства означают, что ОВ касается описанной окружности треугольника ADM

№4. На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка Е, и в треугольники АСЕ и АВЕ вписаны окружности, касающиеся отрезка СЕ в точках М и N . Найдите длину отрезка MN, если известны длины АЕ и ВЕ.

Согласно вводной задаче 4 СМ=(АС+СЕ-АЕ)/2 и СN=(BC+CE-BE)/2. Учитывая, что АС=ВС, получаем МN=|CM-CN|=|AE-BE|/2

№5. Длины сторон треугольника АВС образуют арифметическую прогрессию, причем a

Пусть М середина стороны АС, N- точка касания вписанной окружности со стороной ВС. Тогда BN=р–b (вводная задача 4), поэтому BN=AM, т.к. p=3b/2 по условию. Кроме того,

V .Задачи для самостоятельного решения

№1. Четырехугольник ABCD обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол BAD и касающаяся продолжений сторон ВС и CD. Докажите, что AB+BC=AD+DC.

№2. Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами R и r пересекает их общие внешние касательные в точках А и В и касается одной из окружностей в точке С. Докажите, что АС∙CB=Rr

№3. В треугольнике АВC угол С прямой. Докажите, что r =(a+b-c)/2 и r c =(a+b+c)/2

№4. Две окружности пересекаются в точках А и В; MN – общая касательная к ним. Докажите, что прямая АВ делит отрезок MN пополам.

№5. Продолжения биссектрис углов треугольника АВС пересекают описанную окружность в точках А 1 , В 1 , С 1 . М – точка пересечения биссектрис. Докажите, что:

а) MA·MC/MB 1 =2r;

b) MA 1 ·MC 1 /MB=R

№6. Угол, составленный двумя касательными, проведенными из одной точки окружности, равен 23 о 15`. Вычислить дуги, заключенные между точками касания

№7. Вычислить угол, составленный касательной и хордой, если хорда делит окружность на две части, относящиеся как 3:7.

VI. Контрольные задачи.

Вариант 1.

Точка М находится вне круга с центром О. Из точки М проведены три секущие: первая пересекает окружность в точках В и А (М-В-А), вторая – в точках D и C (М-D-C), а третья пересекает окружность в точках F и E (M-F-E) и проходит через центр окружности, АВ = 4, ВМ =5, FM = 3.

Докажите, что если АВ = СD, то углы АМЕ и СМЕ равны.

Найдите радиус окружности.

Найдите длину касательной, проведенной из точки М к окружности.

Найдите угол АЕВ.

Вариант 2.

АВ – диаметр окружности с центром О. Хорда ЕF пересекает диаметр в точке К (А-К-О), ЕК =4, КF = 6, ОК = 5.

Найдите радиус окружности.

Найдите расстояние от центра окружности до хорды ВF.

Найдите острый угол между диаметром АВ и хордой EF.

Чему равна хорда FМ, если ЕМ – параллельная АВ.

Вариант 3. В прямоугольный треугольник АВС (

Вариант 4.

АВ – диаметр окружности с центром О. Радиус этой окружности равен 4, О 1 – середина ОА. С центром в точке О 1 проведена окружность, касающаяся большей окружности в точке А. Хорда СD большей окружности перпендикулярна к АВ и пересекает АВ в точке К. Е и F –точки пересечения СD с меньшей окружностью (С-Е-К-F-D), АК=3.

Найдите хорды АЕ и АС.

Найдите градусную меру дуги АF и её длину.

Найдите площадь части меньшего круга, отсеченной хордой ЕF.

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АСЕ.

Теоретические справочные материалы по геометрии для выполнения заданий от репетитора по математике. В помощь ученикам при решении задач.

1) Терема о вписанном угле в окружность.

Теорема : вписанный в окружность угол равен половие градусной меры дуги, на которую он опирается (или половине центрального угла, соответствующего данной дуге), то есть .

2) Следствия из теоремы о вписанном угле в окружность.

2.1) Свойство углов, опирающихся на одну дугу.

Теорема: если вписанные углы опираются на одну дугу, то они равны (если они опираются на дополнителные дуги, их сумма равна

2.2) Свойство угла, опирающегося на диаметр .

Теорема: вписанный угол в окружность опирается на диаметр тогда и только тогда, когда он прямой.

AC-диаметр

3) Cвойство отрезков касательных. Окружность, вписанная в угол.

Теорема 1: если из одной точки, не лежащей на окружности, проведены к ней две касательные, то их отрезки равны, то есть PB=PC .

Теорема 2: Если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть PO-биссектриса.

4) Свойство отрезков хорд при внутреннем пересечении секущих.
Теорема 1: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, то есть

Теорема 2: угол между хордами равен полусумме дуг, которые этими хордами образуются на окружности, то есть

\[{\Large{\text{Центральные и вписанные углы}}}\]

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:

Треугольник \(AOB\) – равнобедренный, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) – внешний, тогда \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\) , откуда \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AC}\) .

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол \(ABC\) . Проведём диаметр окружности \(BD\) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла \(\angle ABD, \angle CBD\) , у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

\[{\Large{\text{Касательная к окружности}}}\]

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).

2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Доказательство

Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\) :

Значит, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) как радиусы. Прямоугольные треугольники \(\triangle KAO\) и \(\triangle KBO\) равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(KA=KB\) .

Следствие

Центр окружности \(O\) лежит на биссектрисе угла \(AKB\) , образованного двумя касательными, проведенными из одной точки \(K\) .

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с углами}}}\]

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Доказательство

Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:

Покажем, что \(\angle DMB = \dfrac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} - \buildrel\smile\over{CA})\) .

\(\angle DAB\) – внешний угол треугольника \(MAD\) , тогда \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\) , откуда \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\) , но углы \(\angle DAB\) и \(\angle MDA\) – вписанные, тогда \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{BD} - \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{CA} = \frac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} - \buildrel\smile\over{CA})\) , что и требовалось доказать.

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over{AB}+\buildrel\smile\over{CD}\right)\]

Доказательство

\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.

Из треугольника \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over{AB} - \frac12\buildrel\smile\over{CD}\) .

Но \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\) , откуда заключаем, что \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB} + \frac12\cdot\buildrel\smile\over{CD} = \frac12(\buildrel\smile\over{AB} + \buildrel\smile\over{CD}).\]

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

Доказательство

Пусть прямая \(a\) касается окружности в точке \(A\) , \(AB\) – хорда этой окружности, \(O\) – её центр. Пусть прямая, содержащая \(OB\) , пересекает \(a\) в точке \(M\) . Докажем, что \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over{AB}\) .

Обозначим \(\angle OAB = \alpha\) . Так как \(OA\) и \(OB\) – радиусы, то \(OA = OB\) и \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\) . Таким образом, \(\buildrel\smile\over{AB} = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\) .

Так как \(OA\) – радиус, проведённый в точку касания, то \(OA\perp a\) , то есть \(\angle OAM = 90^\circ\) , следовательно, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB}\) .

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

Доказательство

1) Пусть \(AB=CD\) . Докажем, что меньшие полуокружности дуги .

По трем сторонам, следовательно, \(\angle AOB=\angle COD\) . Но т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) - центральные углы, опирающиеся на дуги \(\buildrel\smile\over{AB}, \buildrel\smile\over{CD}\) соответственно, то \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\) .

2) Если \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\) , то \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам \(AO=BO=CO=DO\) и углу между ними \(\angle AOB=\angle COD\) . Следовательно, и \(AB=CD\) .

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.

Доказательство

1) Пусть \(AN=NB\) . Докажем, что \(OQ\perp AB\) .

Рассмотрим \(\triangle AOB\) : он равнобедренный, т.к. \(OA=OB\) – радиусы окружности. Т.к. \(ON\) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, \(ON\perp AB\) .

2) Пусть \(OQ\perp AB\) . Докажем, что \(AN=NB\) .

Аналогично \(\triangle AOB\) – равнобедренный, \(ON\) – высота, следовательно, \(ON\) – медиана. Следовательно, \(AN=NB\) .

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с длинами отрезков}}}\]

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\) .

Рассмотрим треугольники \(ADE\) и \(CBE\) . В этих треугольниках углы \(1\) и \(2\) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу \(BD\) , а углы \(3\) и \(4\) равны как вертикальные. Треугольники \(ADE\) и \(CBE\) подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Тогда \(\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{DE}{BE}\) , откуда \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Доказательство

Пусть касательная проходит через точку \(M\) и касается окружности в точке \(A\) . Пусть секущая проходит через точку \(M\) и пересекает окружность в точках \(B\) и \(C\) так что \(MB < MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Рассмотрим треугольники \(MBA\) и \(MCA\) : \(\angle M\) – общий, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB}\) . По теореме об угле между касательной и секущей, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB} = \angle BCA\) . Таким образом, треугольники \(MBA\) и \(MCA\) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников \(MBA\) и \(MCA\) имеем: \(\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{MA}{MC}\) , что равносильно \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки \(O\) , на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки \(O\) .

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 45

Разработка урока по теме

«Теорема об отрезках пересекающихся хорд»,

геометрия, 8 класс.

первой категории

МАОУ СОШ №45 г. Калининграда

Борисова Алла Николаевна.

г. Калининград

2016 – 2017 учебный год

Образовательное учреждение – муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 города Калининграда

Предмет – математика (геометрия)

Класс – 8

Тема – «Теорема об отрезках пересекающихся хорд»

Учебно-методическое обеспечение:

Геометрия, 7 - 9: учебник для общеобразовательных учреждений/ Л. С. Атанасян и др., - 17 - е изд., - М.: Просвещение, 2015 г.

Рабочая тетрадь «Геометрия, 8 класс», авторы Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков, И.И. Юдина/ учебное пособие для учащихся общеобразовательных учреждений/ - М. Просвещение, 2016 г.

Данные о программах, в которых выполнена мультимедийная составляющая работы - Microsoft Office Power Point 2010

Цель: познакомиться с теоремой об отрезках пересекающихся хорд и сформировать навыки по её применению для решения задач.

Задачи урока:

Образовательные:

систематизировать теоретические знания по теме: “Центральные и вписанные углы” и совершенствовать навыки решения задач по данной теме;

сформулировать и доказать теорему об отрезках пересекающихся хорд;

применить теорему при решении геометрических задач;

Развивающие:

развитие познавательного интереса к предмету.

формирование ключевых и предметных компетентностей.

развитие творческих способностей.

развивать у учащихся навыки самостоятельной работы и работы в парах.

Воспитательные:

воспитание познавательной активности, культуры общения, ответственности, самостоятельное развитие зрительной памяти;

воспитывать у учащихся самостоятельность, любознательность, сознательное отношение к изучению математики;

обоснование выбора методов, средств и форм обучения;

оптимизировать обучение путем разумного сочетания и соотношения методов, средств и форм, направленных на получение высокого результата за время урока.

Оборудование и материалы для урока : проектор, экран, презентация для сопровождения урока.

Тип урока: комбинированный.

Структура урока:

1) Учащимся сообщается тема урока и цели, подчеркивается актуальность данной темы (слайд №1).

2) Объявляется план урока.

1. Проверка домашнего задания.

2. Повторение.

3. Открытие нового знания.

4. Закрепление.

II . Проверка домашнего задания.

1) три ученика доказывают самостоятельно на доске теорему о вписанном угле.

Первый ученик – случай 1;
Второй ученик – случай 2;
Третий ученик – случай 3.

2) Остальные работают в это время устно с целью повторения пройденного материала.

1. Теоретический опрос (фронтально) (слайд №2) .

Закончите предложение:

Угол называется центральным, если …

Угол называется вписанным, если …

Центральный угол измеряется …

Вписанный угол измеряется …

Вписанные углы равны, если …

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность …

2. Решение задач на готовых чертежах (слайд №3) .

Учитель в это время индивидуально проверяет решение домашнего задания у некоторых учеников.

Доказательство теорем заслушивается всем классом после проверки правильности решений задач на готовых чертежах.

II I. Введение нового материала.

1) Работа в парах. Решить задачу 1 с целью подготовки учащихся к восприятию нового материала (слайд №4).

2) Доказательство теоремы об отрезках пересекающихся хорд проводим в виде задачи (слайд №5).

Вопросы для обсуждения (слайд №6) :

Что вы можете сказать об углах CAB и CDB?

Об углах AEC и DEB ?

Какими являются треугольники ACE и DBE?

Чему равно отношение их сторон, являющихся отрезками хорд касательных?

Какое равенство можно записать из равенства двух отношений, используя основное свойство пропорции?

Попробуйте сформулировать утверждение, которое вы доказали. На доске и в тетрадях записать формулировку и конспект доказательства теоремы об отрезках пересекающихся хорд. К доске вызывается один человек (слайд №7).

I V. Физкультминутка.

Один учащийся выходит к доске и предлагает простые упражнения для шеи, рук и спины.

V . Закрепление изученного материала.

1) Первичное закрепление.

1 уч-ся с комментированием решает № 667 на доске

Решение .

1) АВА 1 – прямоугольный, так как вписанный угол А 1 ВА опирается на полуокружность.

2) 5 = 3 как вписанные и опирающиеся на одну дугу АВ 1 .

3) 1 = 90° – 5, 4 = 90°– 3, но 3 = 5, поэтому 1= 4.

4) А 1 ВВ 1 – равнобедренный, тогда ВС = В 1 С .

5) По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд

АС · А 1 С = ВС · В 1 С.

6) (см);

Ответ:

2) Самостоятельное решение задач.

1. 1 - ая группа учащихся («слабые» учащиеся). Решают самостоятельно № 93, 94 («Рабочая тетрадь», авт. Л.С. Атанасян, 2015 г), учитель при необходимости консультирует учащихся, анализирует результаты выполнения учащимися заданий

2. 2 - ая группа учащихся (остальные учащиеся). Работа над нестандартной задачей. Работают самостоятельно (по необходимости пользуются помощью учителя или соседа по парте). Один учащийся работает на откидной доске. После окончания работы взаимопроверка .

Задача .
Хорды АВ и СD пересекаются в точке S , при чем AS:SB = 2:3, DS = 12 см, SC = 5см , найти АВ .
Решение .

Поскольку соотношение AS:SB = 2:3 , то пусть длина AS = 2x, SB = 3x
Согласно свойству хорд AS ∙ SB = CS ∙ SD , тогда
2х ∙ 3х = 5 ∙ 12
6х 2 = 60
х 2 = 10
x = √10.

Откуда
AB = AS + SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10 Ответ : 5√10

VI . Подведение итогов урока, рефлексия деятельности

Подведение итогов урока, мобилизация учащихся на самооценку своей деятельности;

Итак, что вы узнали сегодня на уроке?

Чему научились сегодня на уроке?

Оцени свою деятельность за урок по 5 – бальной системе.

Выставление отметок за урок.

VIII . Домашнее задание

п. 71 (выучить теорию),

№ 659, 661, 666 (б, в).