Problema 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)
Olya, Denis, Vitya, Arthur e Rita hanno lanciato un sacco - chi inizierà il gioco. Trova la probabilità che Rita dovrà iniziare il gioco.
Soluzione
Un totale di 5 persone possono iniziare il gioco.
Risposta: 0.2.
Problema 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)
Misha aveva in tasca quattro caramelle: "Grillage", "Mask", "Piccolo scoiattolo" e "Cappuccetto rosso", oltre alle chiavi dell'appartamento. Tirando fuori le chiavi, Misha fece cadere accidentalmente una caramella. Trova la probabilità che la Mask Candy venga persa.
Soluzione
Ci sono 4 opzioni in totale.
La probabilità che Misha abbia lasciato cadere la caramella "Maschera" è
Risposta: 0,25.
Problema 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)
Il dado (dado) viene lanciato una volta. Qual è la probabilità che il numero di punti persi sia almeno 3?
Soluzione
In totale, ci sono 6 diverse opzioni per far cadere punti sul dado.
Il numero di punti, non inferiore a 3, può essere: 3,4,5,6 - ovvero 4 opzioni.
Quindi la probabilità è P = 4/6 = 2/3.
Risposta: 2/3.
Problema 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)
La nonna decise di dare a suo nipote Ilya alcuni frutti scelti a caso per la strada. Aveva 3 mele verdi, 3 pere verdi e 2 banane gialle. Trova la probabilità che Ilya riceverà un frutto verde da sua nonna.
Soluzione
3 + 3 + 2 = 8 - frutto totale. Di questi, 6 sono verdi (3 mele e 3 pere).
Quindi la probabilità che Ilyusha riceverà un frutto verde da sua nonna è
P = 6/8 = 3/4 = 0,75.
Risposta: 0,75.
Problema 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)
I dadi vengono lanciati due volte. Trova la probabilità che entrambe le volte il numero sia maggiore di 3.
Soluzione
6 * 6 = 36 - il numero totale di opzioni per la comparsa di numeri con due lanci di dadi.
Le opzioni sono adatte a noi:
Ci sono 9 di queste opzioni in totale.
Ciò significa che la probabilità che entrambe le volte un numero maggiore di 3 venga eliminato è
P = 9/36 = 1/4 = 0,25.
Risposta: 0,25.
Problema 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)
Il dado (dado) viene lanciato 2 volte. Trova la probabilità che un numero sia uno maggiore di 3 e un altro minore di 3.
Soluzione
Opzioni totali: 6 * 6 = 36.
I seguenti risultati sono adatti a noi:
Compiti per probabilità di morire non sono meno popolari dei problemi di lancio della moneta. La condizione di un tale problema di solito suona così: quando si lancia uno o più dadi (2 o 3), qual è la probabilità che la somma dei punti sia uguale a 10, o che il numero di punti sia uguale a 4, o il prodotto del numero di punti, oppure è il prodotto del numero di punti diviso 2 e così via.
L'uso della classica formula di probabilità è il metodo principale per risolvere problemi di questo tipo.
Un morto, probabilità.
La situazione è abbastanza semplice con un dado. è determinato dalla formula: P = m / n, dove m è il numero di esiti favorevoli all'evento, ed n è il numero di tutti gli esiti elementari ugualmente possibili di un esperimento con il lancio di un dado o di un dado.
Problema 1. Un dado viene lanciato una volta. Qual è la probabilità di ottenere un numero pari di punti?
Poiché il dado è un cubo (o è anche chiamato il dado corretto, il cubo cadrà su tutte le facce con la stessa probabilità, poiché è bilanciato), il cubo ha 6 facce (il numero di punti da 1 a 6, che sono solitamente indicati da punti), ciò significa che il problema ha il numero totale di esiti: n = 6. L'evento è favorito solo da esiti in cui cade una faccia con punti pari 2,4 e 6, il cubo ha tali facce: m = 3. Ora possiamo determinare la probabilità richiesta del dado: P = 3/6 = 1/2 = 0,5.
Problema 2. Un dado viene lanciato una volta. Qual è la probabilità che vengano eliminati almeno 5 punti?
Questo problema viene risolto per analogia con l'esempio sopra indicato. Quando si lancia un dado, il numero totale di esiti ugualmente possibili è: n = 6 e la condizione del problema (almeno 5 punti sono stati eliminati, ovvero 5 o 6 punti sono stati eliminati) solo 2 risultati, il che significa m = 2. Successivamente, troviamo la probabilità richiesta: P = 2/6 = 1/3 = 0,333.
Due dadi, probabilità.
Quando si risolvono problemi con il lancio di 2 dadi, è molto conveniente utilizzare una tabella speciale di punti che si escludono. Su di esso viene depositato orizzontalmente il numero di punti caduti sul primo dado e verticalmente il numero di punti caduti sul secondo dado. Il pezzo si presenta così:
Ma sorge la domanda, cosa ci sarà nelle celle vuote della tabella? Dipende dal problema che deve essere risolto. Se il problema riguarda la somma dei punti, viene scritta la somma, e se riguarda la differenza, viene scritta la differenza e così via.
Problema 3. Vengono lanciati 2 dadi contemporaneamente. Qual è la probabilità di ottenere meno di 5 punti?
Per prima cosa, devi capire quale sarà il numero totale di risultati dell'esperimento. Tutto era ovvio quando si lanciava un dado 6 lati dei dadi - 6 risultati dell'esperimento. Ma quando ci sono già due dadi, allora i possibili esiti possono essere rappresentati come coppie ordinate di numeri della forma (x, y), dove x mostra quanti punti sono caduti sul primo dado (da 1 a 6), e y - quanti punti sono caduti sul secondo dado (da 1 a 6). Il totale di tali coppie numeriche sarà: n = 6 * 6 = 36 (36 celle corrispondono ad esse nella tabella dei risultati).
Ora puoi compilare la tabella, per questo, in ogni cella viene inserito il numero della somma dei punti caduti sul primo e sul secondo dado. La tabella completata si presenta così:
Grazie alla tabella, determineremo il numero di esiti che favoriscono l'evento "ci saranno meno di 5 punti in totale". Contiamo il numero di celle, il valore della somma in cui sarà inferiore al numero 5 (questi sono 2, 3 e 4). Per comodità, dipingi su tali celle, saranno m = 6:
Dati i dati in tabella, probabilità di morireè uguale a: P = 6/36 = 1/6.
Problema 4. Sono stati lanciati due dadi. Determinare la probabilità che il prodotto del numero di punti sia divisibile per 3.
Per risolvere il problema, facciamo una tabella dei prodotti dei punti caduti sul primo e sul secondo dado. In esso, selezioniamo immediatamente i numeri multipli di 3:
Annotiamo il numero totale di esiti dell'esperimento n = 36 (il ragionamento è lo stesso del problema precedente) e il numero di esiti favorevoli (il numero di celle che sono riempite nella tabella) m = 20. La probabilità dell'evento è: P = 20/36 = 5/9.
Problema 5. I dadi vengono lanciati due volte. Qual è la probabilità che la differenza nel numero di punti sia da 2 a 5 sul primo e sul secondo dado?
Determinare probabilità di morire Annotiamo la tabella delle differenze di punteggio e selezioniamo quelle celle in essa, il valore della differenza in cui sarà compreso tra 2 e 5:
Il numero di esiti favorevoli (il numero di celle riempite nella tabella) è m = 10, il numero totale di esiti elementari ugualmente possibili sarà n = 36. Determina la probabilità dell'evento: P = 10/36 = 5/18.
Nel caso di un evento semplice e quando si lanciano 2 dadi, è necessario creare una tabella, quindi selezionare le celle necessarie e dividere il loro numero per 36, questa sarà considerata una probabilità.
Obiettivi della lezione:
Gli studenti dovrebbero sapere:
- determinazione della probabilità di un evento casuale;
- essere in grado di risolvere problemi per trovare la probabilità di un evento casuale;
- saper applicare le conoscenze teoriche nella pratica.
Obiettivi della lezione:
Educativo: creare le condizioni affinché gli studenti possano padroneggiare un sistema di conoscenze, abilità e abilità con i concetti di probabilità di un evento.
Educativo: formare la visione scientifica del mondo degli studenti
Sviluppo: sviluppa l'interesse cognitivo, la creatività, la volontà, la memoria, la parola, l'attenzione, l'immaginazione, la percezione degli studenti.
Modalità di organizzazione delle attività educative e cognitive:
- visivo,
- pratico,
- Su attività mentale: induttivo,
- sull'assimilazione del materiale: in parte esplorativo, riproduttivo,
- dal grado di indipendenza: lavoro autonomo,
- stimolante: ricompense,
- tipi di controllo: verifica di problemi risolti in autonomia.
Piano della lezione
- Esercizi orali
- Imparare nuovo materiale
- Risolvere compiti.
- Lavoro indipendente.
- Riassumendo la lezione.
- Commentando i compiti.
Attrezzatura: proiettore multimediale (presentazione), schede (opera indipendente)
Durante le lezioni
I. Momento organizzativo.
Organizzazione della classe durante la lezione, prontezza degli studenti per la lezione, ordine e disciplina.
Stabilire obiettivi di apprendimento per gli studenti, sia per l'intera lezione che per le sue singole fasi.
Determinare il significato del materiale studiato, sia in questo argomento che nell'intero corso.
II. Ripetizione
1. Cos'è la probabilità?
La probabilità è la possibilità di realizzazione, la fattibilità di qualcosa.
2. Qual è la definizione data dal fondatore della moderna teoria della probabilità A.N. Kolmogorov?
La probabilità matematica è una caratteristica numerica del grado di possibilità del verificarsi di un determinato evento in determinate condizioni che può essere ripetuto un numero illimitato di volte.
3. Qual è la definizione classica di probabilità data dagli autori dei libri di testo scolastici?
La probabilità P (A) dell'evento A in una prova con esiti elementari ugualmente possibili è il rapporto tra il numero di esiti m, favorevoli all'evento A, e il numero n di tutti gli esiti della prova.
Conclusione: in matematica, la probabilità si misura con il numero.
Oggi continueremo a considerare il modello matematico "dadi".
Oggetto di ricerca nella teoria della probabilità sono eventi che si manifestano in determinate condizioni, che possono essere riprodotti un numero illimitato di volte. Ogni realizzazione di queste condizioni è chiamata test.
La prova è il lancio dei dadi.
Evento - la caduta dei sei o cadere da un numero pari di punti.
Ogni sfaccettatura ha la stessa probabilità di cadere su più tiri del dado (il dado è corretto).
III. Risoluzione dei problemi verbali.
1. Il dado (dado) viene lanciato una volta. Qual è la probabilità che escano 4 punti?
Soluzione. Un esperimento casuale: tirare un dado. Evento: un numero sulla faccia caduta. Ci sono solo sei facce. Elenchiamo tutti gli eventi: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Quindi NS= 6. Evento А = (perso 4 punti) un evento favorisce: 4. Pertanto T= 1. Gli eventi sono ugualmente possibili, poiché si assume che il dado sia giusto. Pertanto, P (A) = t / n= 1/6 = 0,17.
2. Il dado (dado) viene lanciato una volta. Qual è la probabilità che vengano segnati non più di 4 punti?
NS= 6. Evento А = (non più di 4 punti persi) 4 eventi preferiti: 1, 2, 3, 4. Quindi T= 4. Pertanto, P (A) = t / n= 4/6 = 0,67.
3. Il dado (dado) viene lanciato una volta. Qual è la probabilità che escano meno di 4 punti?
Soluzione. Un esperimento casuale: tirare un dado. Evento: un numero sulla faccia caduta. Si intende NS= 6. Evento А = (meno di 4 punti eliminati) 3 eventi favoriti: 1, 2, 3. Pertanto T= 3. P (A) = t / n= 3/6 = 0,5.
4. Il dado (dado) viene lanciato una volta. Qual è la probabilità di un numero dispari di punti?
Soluzione. Un esperimento casuale: tirare un dado. Evento: un numero sulla faccia caduta. Si intende NS= 6. Evento А = (un numero dispari di punti eliminati) favorisce 3 eventi: 1,3,5. Ecco perchè T= 3. P (A) = t / n= 3/6 = 0,5.
IV. Imparare di nuovo
Oggi considereremo i problemi quando vengono utilizzati due dadi in un esperimento casuale o vengono eseguiti due o tre lanci.
1. In un esperimento casuale, vengono lanciati due dadi. Trova la probabilità che il totale dei punti persi sia 6. Arrotonda il risultato al centesimo più vicino .
Soluzione. Il risultato finale di questo esperimento è una coppia ordinata di numeri. Il primo numero verrà rilasciato sul primo dado, il secondo sul secondo. È conveniente presentare molti risultati in una tabella.
Le righe corrispondono al numero di punti sul primo dado, colonne - sul secondo dado. Eventi elementari totali NS= 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Scriviamo in ogni cella la somma dei punti eliminati e dipingiamo sulle celle dove la somma è 6.
Le celle sono 5. Significa che l'evento A = (la somma dei punti eliminati è pari a 6) è favorito da 5 esiti. Quindi, T= 5. Pertanto, P (A) = 5/36 = 0,14.
2. In un esperimento casuale, vengono lanciati due dadi. Trova la probabilità che il totale sia 3 punti. Arrotondare il risultato al centesimo più vicino .
NS= 36.
Evento A = (la somma è 3) 2 esiti favorevoli. Quindi, T= 2.
Pertanto, P (A) = 2/36 = 0,06.
3. In un esperimento casuale, vengono lanciati due dadi. Trova la probabilità che il totale sia superiore a 10 punti. Arrotondare il risultato al centesimo più vicino .
Soluzione. Il risultato finale di questo esperimento è una coppia ordinata di numeri. Eventi totali NS= 36.
Evento A = (più di 10 punti in totale) sono favoriti da 3 esiti.
Quindi, T
4. Lyuba lancia i dadi due volte. In totale, ha ottenuto 9 punti. Trova la probabilità che uno dei lanci abbia 5 punti .
Soluzione Il risultato di questo esperimento è una coppia ordinata di numeri. Il primo numero verrà estratto al primo lancio, il secondo al secondo. È conveniente presentare molti risultati in una tabella.
Le righe corrispondono al risultato del primo tiro, le colonne al risultato del secondo tiro.
Il totale degli eventi per i quali il totale dei punti è 9 sarà NS= 4. Evento A = (con uno dei tiri 5 punti persi) favorisce 2 esiti. Quindi, T= 2.
Pertanto, P (A) = 2/4 = 0,5.
5. Sveta lancia i dadi due volte. In totale, ha ottenuto 6 punti. Trova la probabilità che uno dei lanci dia 1 punto.
Primo lancio |
Secondo cast |
Punti totali |
||
Esiti ugualmente possibili - 5.
La probabilità di un evento è p = 2/5 = 0,4.
6. Olya lancia un dado due volte. In totale, ha ottenuto 5 punti. Trova la probabilità che siano stati ottenuti 3 punti al primo lancio.
Primo lancio |
Secondo cast |
Punti totali |
||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = |
Esiti ugualmente possibili - 4.
Risultati favorevoli - 1.
Probabilità dell'evento R= 1/4 = 0,25.
7. Natasha e Vitya stanno giocando a dadi. Tirano i dadi una volta alla volta.
Vince chi ha tirato più punti. Se i punti sono equamente divisi, ne consegue un pareggio. Sono stati eliminati un totale di 8 punti. Trova la probabilità che Natasha abbia vinto.
Punti totali |
||||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = |
Esiti ugualmente possibili - 5.
Risultati favorevoli - 2.
Probabilità dell'evento R= 2/5 = 0,4.
8. Tanya e Natasha giocano a dadi. Tirano i dadi una volta alla volta. Vince chi ha tirato più punti. Se i punti sono equamente divisi, ne consegue un pareggio. Sono stati eliminati un totale di 6 punti. Trova la probabilità che Tanya abbia perso.
| Tanya | Natasha | Punti totali | ||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = |
Esiti ugualmente possibili - 5.
Risultati favorevoli - 2.
Probabilità dell'evento R= 2/5 = 0,4.
9. Kolya e Lena stanno giocando a dadi. Tirano i dadi una volta alla volta. Vince chi ha tirato più punti. Se i punti sono equamente divisi, ne consegue un pareggio. Kolya è stato il primo a lanciare, con 3 punti. Trova la probabilità che Lena non vinca.
Kolya ha ottenuto 3 punti.
Lena ha 6 risultati ugualmente possibili.
Risultati favorevoli alla perdita - 3 (a 1 ea 2 ea 3).
Probabilità dell'evento R= 3/6 = 0,5.
10. Masha lancia i dadi tre volte. Qual è la probabilità che tutti e tre i tempi siano numeri pari?
Masha ha esiti ugualmente possibili: 6 6 6 = 216.
Risultati favorevoli alla perdita - 3 · 3 · 3 = 27.
Probabilità dell'evento R= 27/216 = 1/8 = 0,125.
11. In un esperimento casuale, vengono lanciati tre dadi. Trova la probabilità che il totale sia di 16 punti. Arrotonda il risultato al centesimo più vicino.
Soluzione.
| Il secondo | Il terzo | Punti totali | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = |
Risultati ugualmente possibili - 6 6 6 = 216.
Risultati favorevoli - 6.
Probabilità dell'evento R= 6/216 = 1/36 = 0,277 ... = 0,28. Quindi, T= 3. Pertanto, P (A) = 3/36 = 0,08.
V. Lavoro indipendente.
Opzione 1.
- Il dado (dado) viene lanciato una volta. Qual è la probabilità che vengano segnati almeno 4 punti? (Risposta: 0,5)
- In un esperimento casuale, vengono lanciati due dadi. Trova la probabilità che il totale sia 5 punti. Arrotonda il risultato al centesimo più vicino. (Risposta: 0,11)
- Anya lancia i dadi due volte. In totale, ha ottenuto 3 punti. Trova la probabilità che sia stato segnato 1 punto al primo tiro. (Risposta: 0,5)
- Katya e Ira stanno giocando a dadi. Tirano i dadi una volta alla volta. Vince chi ha tirato più punti. Se i punti sono equamente divisi, ne consegue un pareggio. Un totale di 9 punti sono stati eliminati. Trova la probabilità che Ira abbia perso. (Risposta: 0,5)
- In un esperimento casuale, vengono lanciati tre dadi. Trova la probabilità che il totale sia di 15 punti. Arrotonda il risultato al centesimo più vicino. (Risposta: 0,05)
Opzione 2.
- Il dado (dado) viene lanciato una volta. Qual è la probabilità che vengano segnati non più di 3 punti? (Risposta: 0,5)
- In un esperimento casuale, vengono lanciati due dadi. Trova la probabilità che il totale sia 10 punti. Arrotonda il risultato al centesimo più vicino. (Risposta: 0,08)
- Zhenya lancia i dadi due volte. In totale, ha ottenuto 5 punti. Trova la probabilità che siano stati ottenuti 2 punti al primo lancio. (Risposta: 0,25)
- Masha e Dasha giocano a dadi. Tirano i dadi una volta alla volta. Vince chi ha tirato più punti. Se i punti sono equamente divisi, ne consegue un pareggio. In totale, sono stati eliminati 11 punti. Trova la probabilità che Masha abbia vinto. (Risposta: 0,5)
- In un esperimento casuale, vengono lanciati tre dadi. Trova la probabilità che il totale sia di 17 punti. Arrotondare il risultato
Vi. Compiti a casa
- In un esperimento casuale, vengono lanciati tre dadi. Sono stati eliminati un totale di 12 punti. Calcola la probabilità che siano stati ottenuti 5 punti al primo lancio e arrotonda il risultato al centesimo più vicino.
- Katya lancia i dadi tre volte. Qual è la probabilità che tutte e tre le volte siano lo stesso numero?
Vii. Riepilogo della lezione
Cosa devi sapere per trovare la probabilità di un evento casuale?
Per calcolare la probabilità classica, è necessario conoscere tutti i possibili esiti dell'evento e gli esiti favorevoli.
La definizione classica di probabilità è applicabile solo ad eventi con esiti ugualmente probabili, il che ne limita la portata.
Perché studiamo la teoria della probabilità a scuola?
Molti fenomeni del mondo che ci circonda si prestano alla descrizione solo con l'aiuto della teoria della probabilità.
Letteratura
- L'algebra e l'inizio dell'analisi matematica Classi 10-11: libro di testo. per le istituzioni educative: livello base / [Sh.A.Alimov, Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, ecc.]. - 16a ed., Rev. - M.: Educazione, 2010 .-- 464 p.
- Semenov A.L. Esame di Stato Unificato: 3000 problemi con risposte in matematica. Tutti gli incarichi del gruppo B/ - 3a ed., Rev. e aggiungi. - M .: Casa editrice "Esame", 2012. - 543p.
- Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. Esame Unificato di Stato 2012. Matematica. Compito B10. Teoria della probabilità. Quaderno di lavoro / Ed. A.L. Semenova e I.V. Yashchenko. - M .: MTsShMO, 2012 .-- 48 p.
Spiega il principio della risoluzione del problema. I dadi sono stati lanciati una volta. Qual è la probabilità che escano meno di 4 punti? e ho ottenuto la migliore risposta
Risposta da Divergente [guru]
50 percento
Il principio è estremamente semplice. Totale 6 risultati: 1,2,3,4,5,6
Tre di loro soddisfano la condizione: 1,2,3 e tre non soddisfano: 4,5,6. Pertanto, la probabilità è 3/6 = 1/2 = 0,5 = 50%
Risposta da Sono Superman[guru]
Ci possono essere un totale di sei opzioni (1,2,3,4,5,6)
E di queste opzioni 1, 2 e 3 sono meno di quattro
Quindi 3 risposte su 6
Per calcolare la probabilità, dividere la distribuzione favorevole a tutto, cioè 3 per 6 = 0,5 o 50%
Risposta da Yury Dovbysh[attivo]
50%
dividere 100% per il numero di numeri sui dadi,
e poi moltiplica la percentuale ricevuta per l'importo che devi scoprire, cioè per 3)
Risposta da Ivan Panin[guru]
Non lo so per certo, mi sto preparando per il GIA, ma l'insegnante mi ha detto qualcosa oggi, solo sulla probabilità delle auto, come ho capito, il rapporto è mostrato come una frazione, dall'alto il numero è favorevole, e dal basso, secondo me, è generalmente generale, beh, abbiamo avuto questo riguardo alle auto: la compagnia di taxi ha attualmente 3 auto nere, 3 gialle e 14 verdi libere. Una delle auto si è diretta verso il cliente. Trova la probabilità che un taxi giallo venga da lui. Quindi, ci sono 3 taxi gialli e del numero totale di auto ce ne sono 3, risulta che scriviamo 3 sopra la frazione, poiché questo è un numero favorevole di auto, e in fondo scriviamo 20, poiché ci sono 20 auto nella flotta dei taxi, quindi otteniamo la probabilità da 3 a 20 o una frazione di 3/20, beh, è così che l'ho capito ... non so esattamente come con le ossa, ma forse ha aiutato con cosa ...
Risposta da 3 risposte[guru]
Hey! Ecco una selezione di argomenti con le risposte alla tua domanda: Spiega il principio per risolvere il problema. I dadi sono stati lanciati una volta. Qual è la probabilità che escano meno di 4 punti?