Sper că, după ce ați studiat acest articol, veți învăța cum să găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice complete.
Folosind discriminantul, se rezolvă doar ecuații pătratice complete; se folosesc alte metode pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete, pe care le veți găsi în articolul „Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete”.
Ce ecuații pătratice se numesc complete? Acest ecuații de forma ax 2 + b x + c = 0, unde coeficienții a, b și c nu sunt egali cu zero. Deci, pentru a rezolva ecuația pătratică completă, trebuie să calculați discriminantul D.
D = b 2 - 4ac.
În funcție de ce valoare are discriminantul, vom nota răspunsul.
Dacă discriminantul este negativ (D< 0),то корней нет.
Dacă discriminantul este zero, atunci x = (-b) / 2a. Când discriminantul este un număr pozitiv (D> 0),
atunci x 1 = (-b - √D) / 2a și x 2 = (-b + √D) / 2a.
De exemplu. Rezolvați ecuația x 2- 4x + 4 = 0.
D = 4 2 - 4 4 = 0
x = (- (-4)) / 2 = 2
Raspuns: 2.
Rezolvați ecuația 2 x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 - 4 2 3 = - 23
Răspuns: fără rădăcini.
Rezolvați ecuația 2 x 2 + 5x - 7 = 0.
D = 5 2 - 4 · 2 · (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81) / (2 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3,5
x 2 = (-5 + √81) / (2 2) = (-5 + 9) / 4 = 1
Răspuns: - 3,5; unu.
Deci, să prezentăm soluția ecuațiilor pătratice complete de către circuitul din figura 1.
Aceste formule pot fi folosite pentru a rezolva orice ecuație pătratică completă. Trebuie doar să fii atent pentru a te asigura de asta ecuația a fost scrisă ca un polinom standard
A x 2 + bx + c, altfel, poți face o greșeală. De exemplu, scriind ecuația x + 3 + 2x 2 = 0, puteți decide în mod eronat că
a = 1, b = 3 și c = 2. Atunci
D = 3 2 - 4 · 1 · 2 = 1 și atunci ecuația are două rădăcini. Și acest lucru nu este adevărat. (Vezi soluția la Exemplul 2 de mai sus).
Prin urmare, dacă ecuația nu este scrisă ca un polinom al formei standard, mai întâi trebuie scrisă ecuația pătratică completă ca un polinom al formei standard (în primul rând ar trebui să fie monomul cu cel mai mare exponent, adică A x 2 , apoi cu mai putin – bxși apoi un membru liber Cu.
Când rezolvați o ecuație pătratică redusă și o ecuație pătratică cu un coeficient par la al doilea termen, puteți utiliza alte formule. Să cunoaștem și aceste formule. Dacă în ecuația pătratică completă pentru al doilea termen coeficientul este par (b = 2k), atunci ecuația poate fi rezolvată folosind formulele prezentate în diagrama din figura 2.
O ecuație pătratică completă se numește redusă dacă coeficientul la x 2 este egal cu unu și ecuația ia forma x 2 + px + q = 0... O astfel de ecuație poate fi dată pentru soluție sau se obține prin împărțirea tuturor coeficienților ecuației la coeficient A stând la x 2 .
Figura 3 prezintă o schemă de rezolvare a pătratului redus 
ecuații. Să ne uităm la un exemplu de aplicare a formulelor discutate în acest articol.
Exemplu. Rezolvați ecuația
3x 2 + 6x - 6 = 0.
Să rezolvăm această ecuație folosind formulele prezentate în diagrama din figura 1.
D = 6 2 - 4 3 (- 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √ (363) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3) / (2 3) = (6 (-1- √ (3))) / 6 = –1 - √3
x 2 = (-6 + 6√3) / (2 3) = (6 (-1+ √ (3))) / 6 = –1 + √3
Răspuns: -1 - √3; –1 + √3
Puteți observa că coeficientul de la x din această ecuație este un număr par, adică b = 6 sau b = 2k, de unde k = 3. Apoi vom încerca să rezolvăm ecuația folosind formulele prezentate în diagrama din figură D 1 = 3 2 - 3 · (- 6 ) = 9 + 18 = 27
√ (D 1) = √27 = √ (9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3) / 3 = (3 (-1 - √ (3))) / 3 = - 1 - √3
x 2 = (-3 + 3√3) / 3 = (3 (-1 + √ (3))) / 3 = - 1 + √3
Răspuns: -1 - √3; –1 + √3... Observând că toți coeficienții din această ecuație pătratică sunt împărțiți la 3 și efectuând împărțirea, obținem ecuația pătratică redusă x 2 + 2x - 2 = 0 Rezolvați această ecuație folosind formulele pentru ecuația pătratică redusă. 
Ecuații Figura 3.
D 2 = 2 2 - 4 (- 2) = 4 + 8 = 12
√ (D 2) = √12 = √ (4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3) / 2 = (2 (-1 - √ (3))) / 2 = - 1 - √3
x 2 = (-2 + 2√3) / 2 = (2 (-1+ √ (3))) / 2 = - 1 + √3
Răspuns: -1 - √3; –1 + √3.
După cum puteți vedea, atunci când rezolvăm această ecuație folosind formule diferite, am primit același răspuns. Prin urmare, după ce stăpânești bine formulele prezentate în diagrama din figura 1, poți oricând să rezolvi orice ecuație pătratică completă.
blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.
Am inventat o teoremă atât de grozavă pentru ei,
și ei decid prin discriminant: - (((
(c) Francois Viet „Declarații inexistente”
Formula rădăcină, sau cale lungă
Toți cei care au urmat lecțiile de matematică de clasa a VIII-a cel puțin în cel mai mic grad cunosc formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Soluția după formula rădăcină este adesea numită la oamenii de rând „soluția prin discriminant”. Să ne amintim pe scurt formula rădăcinii.
[Puteți vizualiza și conținutul acestui articol la format video ]
Ecuația pătratică are forma topor 2 +bx+c= 0, unde A, b, c- unele numere. De exemplu, în ecuație 2X 2 + 3X – 5 = 0 aceste numere sunt egale: A = 2, b = 3. c= -5. Înainte de a rezolva orice ecuație pătratică, trebuie să „vedeți” aceste numere și să înțelegeți cu ce sunt egale.
În plus, așa-numitul discriminant este considerat conform formulei D = b ^ 2-4ac. În cazul nostru D = 3 ^ 2 - 4 \ cdot 2 \ cdot (-5) = 9 + 40 = 49. Apoi rădăcina este extrasă din discriminant: \ sqrt (D) = \ sqrt (49) = 7.
După calcularea discriminantului, aplicați formula rădăcinii: x_1 = \ frac (-b- \ sqrt (D)) (2a); x_2 = \ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a):
x_1 = \ frac (-3-7) (2 \ cdot 2) = \ frac (-10) (4) = - 2,5x_2 = \ frac (-3 + 7) (2 \ cdot 2) = \ frac (4) (4) = 1
Si asa se rezolva ecuatia. Are două rădăcini: 1 și -2,5.
Dar această ecuație, ca multe altele sugerate în manualele școlare / cărțile cu probleme, ar putea fi rezolvată într-un mod mult mai rapid dacă ai cunoaște câteva trucuri de viață. Și nu este vorba doar despre teorema lui Vieta, deși este și un instrument util.
Life hack mai întâi... Dacă A + b + c= 0, atunci x_1 = 1, x_2 = \ frac (c) (a).
Se aplică numai dacă în ecuația pătratică toți cei trei coeficienți A, b, c adună până la 0. De exemplu, am avut ecuația 2X 2 + 3X – 5 = 0 ... Adăugând toți cei trei coeficienți, obținem 2 + 3 - 5, care este egal cu 0. În acest caz, puteți ignora discriminantul și nu aplicați formula rădăcinii. În schimb, puteți scrie asta imediat
x_1 = 1,
x_2 = \ frac (c) (a) = \ frac (-5) (2) = - 2,5
(rețineți că am obținut același rezultat în formula rădăcină).
Este adesea întrebat dacă x_1 = 1 se va obține întotdeauna? Da, întotdeauna când A + b + c = 0.
Life hack al doilea... Dacă A + c = b, atunci x_1 = -1, x_2 = - \ frac (c) (a).
Să fie dată ecuația 5X 2 + 6X + 1 = 0 ... În el A = 5, b = 6, c= 1. Dacă adunăm coeficienții „extremi”. Ași c, obținem 5 + 1 = 6, care este exact egal cu coeficientul „mediu” b... Asta înseamnă că ne putem descurca fără discriminant! Notăm imediat:
x_1 = -1,
x_2 = - \ frac (c) (a) = \ frac (-1) (5) = - 0,2
Life hack al treilea(teorema inversă cu teorema lui Vieta). Dacă A= 1, atunci
Luați în considerare ecuația X 2 – 12X+ 35 = 0. În ea, a = 1, b = -12, c = 35. Nu se potrivește nici primului, nici celui de-al doilea life hack - condițiile nu sunt îndeplinite. Dacă se potrivește cu primul sau cu al doilea, atunci ne-am descurca fără teorema lui Vieta.
Însăși utilizarea teoremei lui Vieta implică înțelegerea unor trucuri utile.
Prima numire... Nu ezitați să notați sistemul de vizualizare în sine \ begin (cazuri) x_1 + x_2 = -b \\ x_1 \ cdot x_2 = c \ end (cazuri), care se obține folosind teorema lui Vieta. Nu este nevoie să încerci cu orice preț să rezolvi ecuația complet oral, fără note scrise, așa cum fac „utilizatorii avansați”.
Pentru ecuația noastră X 2 – 12X+ 35 = 0 acest sistem are forma
\ begin (cazuri) x_1 + x_2 = 12 \\ x_1 \ cdot x_2 = 35 \ end (cazuri)
Acum trebuie să selectăm verbal numerele x_1 și x_2 care satisfac sistemul nostru, adică. adunați până la 12 și înmulțiți 35.
Asa de, a doua vizită constă în faptul că trebuie să începeți selecția nu cu cantitatea, ci cu produsul. Să ne uităm la a doua ecuație a sistemului și să ne punem întrebarea: ce numere dau 35 atunci când sunt înmulțite? Dacă totul este în ordine cu tabla înmulțirii, atunci imediat ne vine în minte răspunsul: 7 și 5. Și abia acum înlocuim aceste numere în prima ecuație: vom avea 7 + 5 = 12, care este o egalitate adevărată. Deci numerele 7 și 5 satisfac ambele ecuații, așa că scriem imediat:
x_1 = 7, x_2 = 5
A treia recepție constă în faptul că, dacă numerele nu pot fi găsite rapid (în 15-20 de secunde), atunci, indiferent de motiv, trebuie să calculați discriminantul și să utilizați formula rădăcină. De ce? Deoarece rădăcinile pot să nu fie selectate dacă ecuația nu le are deloc (discriminantul este negativ) sau dacă rădăcinile sunt numere care nu sunt întregi.
Exersați exerciții pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice
Practică! Încercați să rezolvați următoarele ecuații. Priviți fiecare ecuație din următoarea secvență:
- dacă ecuația se potrivește cu primul life hack (când a + b + c = 0), atunci o rezolvăm cu ea;
- dacă ecuația se potrivește celui de-al doilea life hack (când a + c = b), atunci o rezolvăm cu ea;
- dacă ecuația se potrivește celui de-al treilea life hack (teorema lui Vieta), o rezolvăm cu ea;
- si numai in cazul cel mai extrem - daca nu a iesit nimic si/sau nu a fost posibil sa se rezolve cu teorema Vieta - se calculeaza discriminantul. Din nou: discriminant – nu în ultimul rând!
- Rezolvați ecuația x2 + 3x + 2 = 0
Vizualizați soluția și răspunsulVedeți hack-ul de viață al doilea
În această ecuație, a = 1, b = 3, c = 2. Astfel, a + c = b, de unde x_1 = -1, x_2 = - \ frac (c) (a) = - \ frac (2) (1) = - 2.
Răspuns: -1, -2. - Rezolvați ecuația x2 + 8x - 9 = 0
Vizualizați soluția și răspunsulVedeți mai întâi hack-ul de viață
În această ecuație, a = 1, b = 8, c = -9. Astfel, a + b + c = 0, de unde x_1 = 1, x_2 = \ frac (c) (a) = \ frac (-9) (1) = - 9.
Răspuns: 1, -9. - Rezolvați ecuația 15x2 - 11x + 2 = 0
Vizualizați soluția și răspunsulAceastă ecuație (singura din întreaga listă) nu se încadrează în niciunul dintre hack-urile de viață, așa că o vom rezolva folosind formula rădăcină:
D = b ^ 2-4ac = (-11) ^ 2 - 4 \ cdot 15 \ cdot 2 = 121 - 120 = 1.x_1 = \ frac (11-1) (2 \ cdot 15) = \ frac (10) (30) = \ frac (1) (3)x_2 = \ frac (11 + 1) (2 \ cdot 15) = \ frac (12) (30) = \ frac (2) (5) Răspuns: \ frac (1) (3), \ frac (2) (5). - Rezolvați ecuația x2 + 9x + 20 = 0
Vizualizați soluția și răspunsul
\ begin (cazuri) x_1 + x_2 = -9 \\ x_1 \ cdot x_2 = 20 \ end (cazuri)
Prin selecție, stabilim că x_1 = -4, x_2 = -5.
Răspuns: -4, -5. - Rezolvați ecuația x 2 - 7x - 30 = 0
Vizualizați soluția și răspunsulVedeți hack-ul de viață al treilea (teorema lui Vieta)
În această ecuație, a = 1, deci putem scrie asta \ begin (cazuri) x_1 + x_2 = 7 \\ x_1 \ cdot x_2 = -30 \ end (cazuri)
Prin selecție, stabilim că x_1 = 10, x_2 = -3.
Răspuns: 10, -3. - Rezolvați ecuația x2 - 19x + 18 = 0
Vizualizați soluția și răspunsulVedeți mai întâi hack-ul de viață
În această ecuație, a = 1, b = -19, c = 18. Astfel, a + b + c = 0, de unde x_1 = 1, x_2 = \ frac (c) (a) = \ frac (18) (1) = 18.
Răspuns: 1, 18. - Rezolvați ecuația x2 + 7x + 6 = 0
Vizualizați soluția și răspunsulVedeți hack-ul de viață al doilea
În această ecuație, a = 1, b = 7, c = 6. Astfel, a + c = b, de unde x_1 = -1, x_2 = - \ frac (c) (a) = - \ frac (6) (1) = - 6.
Răspuns: -1, -6. - Rezolvați ecuația x2 - 8x + 12 = 0
Vizualizați soluția și răspunsulVedeți hack-ul de viață al treilea (teorema lui Vieta)
În această ecuație, a = 1, deci putem scrie asta \ begin (cazuri) x_1 + x_2 = 8 \\ x_1 \ cdot x_2 = 12 \ end (cazuri)
Prin selecție, stabilim că x_1 = 6, x_2 = 2.
Răspuns: 6, 2. - Rezolvați ecuația x 2 - x - 6 = 0
Vizualizați soluția și răspunsulVedeți hack-ul de viață al treilea (teorema lui Vieta)
În această ecuație, a = 1, deci putem scrie asta \ begin (cazuri) x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 \ cdot x_2 = -6 \ end (cazuri)
Prin selecție, stabilim că x_1 = 3, x_2 = -2.
Răspuns: 3, -2. - Rezolvați ecuația x 2 - 15x - 16 = 0
Vizualizați soluția și răspunsulVedeți hack-ul de viață al doilea
În această ecuație, a = 1, b = -15, c = -16. Astfel, a + c = b, de unde x_1 = -1, x_2 = - \ frac (c) (a) = - \ frac (-16) (1) = 16.
Răspuns: -1, 16. - Rezolvați ecuația x2 + 11x - 12 = 0
Vizualizați soluția și răspunsulVedeți mai întâi hack-ul de viață
În această ecuație, a = 1, b = 11, c = -12. Astfel, a + b + c = 0, de unde x_1 = 1, x_2 = \ frac (c) (a) = \ frac (-12) (1) = - 12.
Răspuns: 1, -12.
Doar. După formule și reguli clare, simple. La prima etapă
este necesar să se reducă ecuația dată la o formă standard, adică. A se uita:
Dacă ecuația vă este deja dată în această formă, nu trebuie să faceți prima etapă. Cel mai important lucru este corect
determinați toți coeficienții, A, bși c.
Formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice.
O expresie sub semnul rădăcinii este numită discriminant ... După cum puteți vedea, pentru a găsi x, noi
utilizare doar a, b și c. Acestea. coeficienţi din ecuație pătratică... Doar înlocuiți cu atenție
sens a, b și cîn această formulă și numărați. Înlocuiește cu prin lor semne!
de exemplu, în ecuația:
A =1; b = 3; c = -4.
Înlocuiți valorile și scrieți:
Exemplul este practic rezolvat:
Acesta este răspunsul.
Cele mai frecvente greșeli sunt confuzia cu semnele de semnificație. a, bși Cu... Mai degrabă, cu înlocuirea
valori negative în formula de calcul a rădăcinilor. Aici, o notare detaliată a formulei salvează
cu numere specifice. Dacă aveți probleme de calcul, faceți-o!
Să presupunem că trebuie să rezolvăm acest exemplu:
Aici A = -6; b = -5; c = -1
Pictăm totul în detaliu, cu atenție, fără să lipsească nimic cu toate semnele și parantezele:
Ecuațiile cuadratice arată adesea ușor diferit. De exemplu, așa:
Pentru moment, luați notă de cele mai bune practici care vor reduce drastic erorile.
Prima recepție... Nu fi leneș înainte rezolvarea ecuației pătratice aduceți-o la forma standard.
Ce inseamna asta?
Să presupunem că, după câteva transformări, obțineți următoarea ecuație:
Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcină! Aproape sigur vei amesteca șansele. a, b și c.
Construiți exemplul corect. Mai întâi, X este pătrat, apoi fără pătrat, apoi termenul liber. Ca aceasta:
Scapa de minus. Cum? Trebuie să înmulțiți întreaga ecuație cu -1. Primim:
Dar acum puteți scrie în siguranță formula rădăcinilor, puteți calcula discriminantul și completați exemplul.
Fă-o singur. Ar trebui să aveți rădăcinile 2 și -1.
Recepție secundă. Verificați rădăcinile! De teorema lui Vieta.
Pentru a rezolva ecuațiile pătratice date, i.e. dacă coeficientul
x 2 + bx + c = 0,
atuncix 1 x 2 = c
x 1 + x 2 = -b
Pentru o ecuație pătratică completă în care a ≠ 1:
x 2 +bx +c=0,
împărțiți întreaga ecuație la A:
→ 
→
Unde x 1și X 2 - rădăcinile ecuației.
Recepția a treia... Dacă aveți coeficienți fracționali în ecuația dvs., scăpați de fracții! Multiplica
ecuația cu numitor comun.
Concluzie. Sfaturi practice:
1. Înainte de a rezolva, aducem ecuația pătratică la forma standard, construim-o dreapta.
2. Dacă există un coeficient negativ în fața lui x în pătrat, îl eliminăm prin înmulțirea totalului
ecuații prin -1.
3. Dacă coeficienții sunt fracționali, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu corespunzătoare
factor.
4. Dacă x pătrat este pur, coeficientul de la acesta este egal cu unu, soluția poate fi verificată cu ușurință prin
În primul rând, ce este o ecuație pătratică? O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax ^ 2 + bx + c = 0, unde x este o variabilă, a, b și c sunt unele numere și a nu este egal cu zero.
Pasul 2
Pentru a rezolva o ecuație pătratică, trebuie să cunoaștem formula rădăcinilor ei, adică, pentru început, formula discriminantului unei ecuații pătratice. Arată astfel: D = b ^ 2-4ac. O poți deduce singur, dar de obicei nu este obligatoriu, doar reține formula (!) Chiar vei avea nevoie de ea în viitor. Există și o formulă pentru un sfert din discriminant, mai multe despre asta puțin mai târziu.
Pasul 3
Luați ca exemplu ecuația 3x ^ 2-24x + 21 = 0. O voi rezolva în două moduri.
Pasul 4
Metoda 1. Discriminant.
3x ^ 2-24x + 21 = 0
a = 3, b = -24, c = 21
D = b ^ 2-4ac
D = 576-4 * 63 = 576-252 = 324 = 18 ^ 2
D>
x1,2 = (-b 18) / 6 = 42/6 = 7
x2 = (- (- 24) -18) / 6 = 6/6 = 1
Pasul 5
Este timpul să ne amintim formula pentru sfertul discriminantului, care poate facilita foarte mult rezolvarea ecuației noastre =) deci, așa arată: D1 = k ^ 2-ac (k = 1 / 2b)
Metoda 2. Un sfert din Discriminant.
3x ^ 2-24x + 21 = 0
a = 3, b = -24, c = 21
k = -12
D1 = k ^ 2 - ac
D1 = 144-63 = 81 = 9 ^ 2
D1> 0, deci ecuația are 2 rădăcini
x1,2 = k + / rădăcina pătrată a lui D1) / a
x1 = (- (- 12) +9) / 3 = 21/3 = 7
x2 = (- (- 12) -9) / 3 = 3/3 = 1
Cât de mai ușoară este soluția? ;)
Vă mulțumesc pentru atenție, vă doresc succes în studii =)
- În cazul nostru, în ecuațiile D și D1 au fost > 0 și am obținut 2 rădăcini. Dacă ar exista D = 0 și D1 = 0, atunci am obține o rădăcină, iar dacă ar exista D<0 и D1<0 соответственно, то у уравнений корней бы не было вовсе.
- Prin rădăcina discriminantului (D1), se pot rezolva doar acele ecuații în care termenul b este par (!)