Vectori: definiție și concepte de bază. Vector. Proprietăți de bază Utilizarea vectorilor

Nu vom discuta încă în detaliu această formulă. În plus, este destul de greu de memorat. Vom reveni la acest punct după ce ne-am familiarizat cu determinanții.

Ei bine, pentru dezvoltarea generală, este util să știm că lungimea vectorului rezultat este egală cu aria paralelogramului construit pe vectori Ași b.

Normalizare vectorială

Un vector normalizat este un vector a cărui lungime este unu.

Formula pentru găsirea vectorului normalizat este următoarea - toate componentele vectorului trebuie împărțite la lungimea acestuia:

v n = v/ | v | =

Postfaţă

După cum probabil ați văzut, vectorii nu sunt greu de înțeles. Am acoperit o serie de operații vectoriale.

În următoarele articole din secțiunea „matematică”, vom discuta matrice, determinanți, sisteme de ecuații liniare. Aceasta este toată teorie.

După aceea, ne vom uita la transformările matriceale. Atunci vei înțelege cât de importantă este matematica în crearea jocurilor pe calculator. Acest subiect va deveni doar o practică pentru toate subiectele anterioare.

În acest articol, vom începe o discuție despre o „baghetă magică” care vă va permite să reduceți multe probleme de geometrie la aritmetică simplă. Acest „băț” îți poate face viața mult mai ușoară, mai ales în cazul în care te simți nesigur în construcția unor figuri spațiale, secțiuni etc. Toate acestea necesită o anumită imaginație și abilități practice. Metoda, pe care vom începe să o luăm în considerare aici, vă va permite să vă abstrageți aproape complet de tot felul de construcții și raționamente geometrice. Metoda este numită "Metoda coordonatelor"... În acest articol, vom lua în considerare următoarele întrebări:

1. Planul de coordonate
2. Puncte și vectori în plan
3. Construirea unui vector din două puncte
4. Lungimea vectorului (distanța dintre două puncte)
5. Coordonatele punctului de mijloc
6. Produsul punctual al vectorilor
7. Unghiul dintre doi vectori

Cred că ai ghicit deja de ce metoda coordonatelor se numește așa? Este adevărat că a primit un astfel de nume, deoarece operează nu cu obiecte geometrice, ci cu caracteristicile lor numerice (coordonatele). Iar transformarea în sine, care ne permite să trecem de la geometrie la algebră, constă în introducerea unui sistem de coordonate. Dacă figura originală a fost plată, atunci coordonatele sunt bidimensionale, iar dacă figura este tridimensională, atunci coordonatele sunt tridimensionale. În acest articol, vom lua în considerare doar cazul bidimensional. Iar scopul principal al articolului este să te învețe cum să folosești câteva tehnici de bază ale metodei coordonatelor (uneori se dovedesc a fi utile în rezolvarea problemelor de planimetrie din partea B a examenului). Următoarele două secțiuni pe această temă sunt dedicate discuției despre metodele de rezolvare a problemelor C2 (problema stereometriei).

Unde ar fi logic să începem să discutăm despre metoda coordonatelor? Probabil din conceptul de sistem de coordonate. Amintește-ți când ai întâlnit-o pentru prima dată. Mi se pare că în clasa a VII-a, când ai aflat despre existența unei funcții liniare, de exemplu. Permiteți-mi să vă reamintesc că ați construit-o punct cu punct. Vă amintiți? Ai ales un număr arbitrar, l-ai înlocuit în formulă și ai calculat așa. De exemplu, dacă, atunci, dacă, atunci etc. Ce ai obținut până la urmă? Și ați primit puncte cu coordonate: și. Apoi ai desenat o „cruce” (sistem de coordonate), ai ales o scară pe ea (câte celule vei avea ca segment unitar) și ai marcat pe ea punctele pe care le-ai primit, pe care apoi le-ai conectat cu o linie dreaptă, linia rezultată este graficul funcției.

Există câteva puncte aici care ar trebui explicate puțin mai detaliat:

1. Alegi un singur segment din motive de comoditate, astfel incat totul sa se incadreze frumos si compact in poza.

2. Se presupune că axa merge de la stânga la dreapta, iar axa merge de jos în sus.

3. Se intersectează în unghi drept, iar punctul lor de intersecție se numește origine. Este indicat printr-o literă.

4. În scris coordonatele unui punct, de exemplu, în stânga între paranteze este coordonatele punctului de-a lungul axei, iar în dreapta, de-a lungul axei. În special, înseamnă pur și simplu că la punctul

5. Pentru a seta orice punct pe axa de coordonate, trebuie să specificați coordonatele acestuia (2 numere)

6. Pentru orice punct de pe axă,

7. Pentru orice punct de pe axă,

8. Axa se numește axa absciselor.

9. Axa se numește axa y.

Acum să facem următorul pas cu tine: marchează două puncte. Să conectăm aceste două puncte cu un segment. Și vom pune săgeata de parcă am desenam un segment din punct în punct: adică ne vom face segmentul direcționat!

Amintiți-vă, cum se mai numește o linie direcțională? Așa e, se numește vector!

Astfel, dacă conectăm un punct cu un punct, în plus, începutul va fi punctul A, iar sfârșitul va fi punctul B, atunci obținem un vector. Ați făcut această formație și în clasa a VIII-a, vă amintiți?

Se pare că vectorii, ca și punctele, pot fi notați cu două numere: aceste numere se numesc coordonatele vectorului. Întrebarea este: credeți că este suficient să cunoaștem coordonatele începutului și sfârșitului vectorului pentru a găsi coordonatele acestuia? Se dovedește că da! Și acest lucru se face foarte simplu:

Astfel, deoarece punctul din vector este începutul și a este sfârșitul, vectorul are următoarele coordonate:

De exemplu, dacă, atunci coordonatele vectorului

Acum să facem invers, să găsim coordonatele vectorului. Ce trebuie să schimbăm pentru asta? Da, trebuie să schimbați începutul și sfârșitul: acum începutul vectorului va fi la punct, iar sfârșitul va fi la punct. Atunci:

Privește cu atenție, cum sunt vectorii și? Singura lor diferență sunt semnele din coordonate. Ele sunt opuse. Este obișnuit să scrieți acest fapt astfel:

Uneori, dacă nu este specificat în mod specific care punct este începutul vectorului și care este sfârșitul, atunci vectorii sunt notați nu cu două litere mari, ci cu o literă mică, de exemplu: etc.

Acum puțin practicăși găsiți coordonatele următorilor vectori:

Examinare:

Acum rezolvă problema puțin mai greu:

Vektor cu na-cha-lom la punctul are co-or-di-na-ty. Nu-di-acele puncte abs-cis-su.

La fel este mai degrabă prozaic: fie coordonatele unui punct. Atunci

Am alcătuit sistemul prin definiția a ceea ce sunt coordonatele unui vector. Atunci punctul are coordonate. Ne interesează abscisa. Atunci

Răspuns:

Ce altceva poți face cu vectorii? Da, aproape totul este la fel ca cu numerele obișnuite (cu excepția faptului că nu poți împărți, dar poți înmulți în două moduri, dintre care unul îl vom discuta aici puțin mai târziu)

1. Vectorii pot fi adăugați unul altuia
2. Vectorii pot fi scăzuți unul de la altul
3. Vectorii pot fi înmulțiți (sau împărțiți) cu un număr arbitrar diferit de zero
4. Vectorii pot fi înmulțiți între ei

Toate aceste operații au o reprezentare geometrică foarte clară. De exemplu, regula triunghiului (sau paralelogramului) pentru adunare și scădere:

Vectorul se extinde sau se contractă sau își schimbă direcția atunci când este înmulțit sau împărțit cu un număr:

Totuși, aici ne va interesa întrebarea ce se întâmplă cu coordonatele.

1. Când adunăm (scădem) doi vectori, adunăm (scădem) coordonatele acestora element cu element. Acesta este:

2. La înmulțirea (împărțirea) unui vector cu un număr, toate coordonatele acestuia sunt înmulțite (împărțite) cu acest număr:

De exemplu:

· Nay-di-te suma de co-or-di-nat vek-to-ra.

Să găsim mai întâi coordonatele fiecărui vector. Ambele au aceeași origine - punctul de origine. Capatele lor sunt diferite. Atunci, . Acum să calculăm coordonatele vectorului Apoi suma coordonatelor vectorului rezultat este.

Răspuns:

Acum rezolvați singur următoarea problemă:

Aflați suma coordonatelor unui vector

Verificăm:

Să luăm acum în considerare următoarea problemă: avem două puncte pe planul de coordonate. Cum să găsești distanța dintre ele? Fie primul punct și al doilea. Să notăm distanța dintre ele prin. Să facem următorul desen pentru claritate:

Ce am facut? Eu, în primul rând, am legat punctele și, de asemenea, din punct am trasat o linie paralelă cu axa, iar din punct am trasat o dreaptă paralelă cu axa. S-au intersectat într-un punct, formând astfel o figură minunată? Pentru ce este remarcabil? Da, tu și cu mine știm aproape totul despre un triunghi dreptunghic. Ei bine, teorema lui Pitagora - cu siguranță. Segmentul căutat este ipotenuza acestui triunghi, iar segmentele sunt catetele. Care sunt coordonatele unui punct? Da, sunt ușor de găsit din imagine: Deoarece segmentele sunt paralele cu axele și, în consecință, lungimile lor sunt ușor de găsit: dacă notați lungimile segmentelor, respectiv, prin, atunci

Acum să folosim teorema lui Pitagora. Știm lungimile catetelor, vom găsi ipotenuza:

Astfel, distanța dintre două puncte este rădăcina sumei pătratelor diferențelor față de coordonate. Sau - distanța dintre două puncte este lungimea liniei care le leagă. Este ușor de observat că distanța dintre puncte este independentă de direcție. Atunci:

Din aceasta tragem trei concluzii:

Să facem puțină practică pentru a calcula distanța dintre două puncte:

De exemplu, dacă, atunci distanța dintre și este egală cu

Sau să mergem altfel: găsiți coordonatele vectorului

Și găsiți lungimea vectorului:

După cum puteți vedea, același lucru!

Acum exersează-te:

Sarcină: găsiți distanța dintre punctele specificate:

Verificăm:

Iată încă câteva probleme pentru aceeași formulă, deși sună puțin diferit:

1. Nay-di-te pătrat-șobolan de lungimea secolului-la-ra.

2. Nay-di-te pătrat-șobolan de lungimea secolului-la-ra

Cred că ai făcut-o ușor cu ei? Verificăm:

1. Și aceasta este pentru atenție) Am găsit deja coordonatele vectorilor și mai devreme:. Atunci vectorul are coordonate. Pătratul lungimii sale va fi:

2. Aflați coordonatele vectorului

Atunci pătratul lungimii sale este

Nimic complicat, nu? Aritmetică simplă, nimic mai mult.

Următoarele sarcini nu pot fi clasificate fără ambiguitate, sunt mai predispuse la erudiție generală și capacitatea de a desena imagini simple.

1. Nay-di-te sinus al unui unghi on-off-cut, co-uni-nya-yu-shch-th point, cu axa absciselor.

și

Ce vom face aici? Trebuie să găsiți sinusul unghiului dintre și axa. Și unde știm să căutăm un sinus? Dreapta, într-un triunghi dreptunghic. Deci, ce trebuie să facem? Construiește acest triunghi!

Deoarece coordonatele punctului sunt și, segmentul este egal, iar segmentul. Trebuie să găsim sinusul unghiului. Permiteți-mi să vă reamintesc că sinusul este raportul dintre piciorul opus și ipotenuză

Ce ne mai rămâne de făcut? Aflați ipotenuza. O poți face în două moduri: prin teorema lui Pitagora (picioarele sunt cunoscute!) Sau prin formula distanței dintre două puncte (de fapt, același lucru ca și prima cale!). Voi merge pe a doua cale:

Răspuns:

Următoarea sarcină ți se va părea și mai ușoară. Ea - pe coordonatele punctului.

Obiectivul 2. Per-pen-di-ku-lar este coborât de la punct la axa abs-ciss. Nay-di-te abs-cis-su os-no-va-nia per-pen-di-ku-la-ra.

Hai sa facem un desen:

Baza perpendicularei este punctul în care traversează axa (axa) absciselor, pentru mine acesta este punctul. Figura arată că are coordonatele:. Ne interesează abscisa - adică componenta „x”. Este egal.

Răspuns: .

Obiectivul 3.În condițiile problemei anterioare, găsiți suma distanțelor de la un punct la axele de coordonate.

Sarcina este în general elementară, dacă știi care este distanța de la un punct la axe. Tu stii? Sper, dar tot iti reamintesc:

Deci, în poza mea, situată puțin mai sus, am desenat deja o astfel de perpendiculară? La ce axa este? Spre axă. Și atunci cu ce lungime este egală? Este egal. Acum trageți singur perpendiculara pe axă și găsiți-i lungimea. Va fi egal, nu? Atunci suma lor este egală.

Răspuns: .

Sarcina 4.În condițiile problemei 2, găsiți ordonata punctului simetric față de punctul relativ la axa absciselor.

Cred că înțelegi intuitiv ce este simetria? Multe obiecte o au: multe clădiri, mese, avioane, multe forme geometrice: o minge, un cilindru, un pătrat, un romb etc. În linii mari, simetria poate fi înțeleasă astfel: o figură este formată din două (sau mai multe) jumătăți identice. Această simetrie se numește axială. Ce este atunci o axă? Aceasta este exact linia de-a lungul căreia o figură poate fi, relativ vorbind, „tăiată” în jumătăți identice (în această imagine, axa de simetrie este o linie dreaptă):

Acum să revenim la problema noastră. Știm că căutăm un punct care este simetric față de axă. Atunci această axă este axa de simetrie. Aceasta înseamnă că trebuie să marchem un punct, astfel încât axa să taie segmentul în două părți egale. Încercați să marcați singur un astfel de punct. Acum compară cu soluția mea:

Ați făcut la fel? Bun! La punctul gasit ne intereseaza ordonata. Ea este egală

Răspuns:

Acum spuneți-mi, după ce m-am gândit la secunde, care va fi abscisa unui punct simetric față de punctul A față de ordonată? Care este răspunsul tău? Răspuns corect: .

În general, regula poate fi scrisă astfel:

Un punct simetric față de un punct relativ la axa absciselor are coordonatele:

Un punct simetric față de un punct în jurul axei ordonatelor are coordonatele:

Ei bine, acum este complet înfricoșător sarcină: găsiți coordonatele unui punct care este simetric față de un punct, relativ la origine. Mai întâi gândești singur, apoi te uiți la desenul meu!

Răspuns:

Acum problema paralelogramului:

Problema 5: Punctele sunt ver-shi-na-mi paral-le-lo-gram-ma. Nay-di-te or-di-na-tu puncte.

Puteți rezolva această problemă în două moduri: logica și metoda coordonatelor. Voi aplica mai întâi metoda coordonatelor, apoi vă voi spune cum puteți decide altfel.

Este destul de clar că abscisa punctului este egală cu. (se află pe perpendiculara trasată dintr-un punct pe axa absciselor). Trebuie să găsim ordonata. Să profităm de faptul că figura noastră este un paralelogram, ceea ce înseamnă că. Găsiți lungimea segmentului folosind formula pentru distanța dintre două puncte:

Coborâm perpendiculara care leagă punctul de axă. Punctul de intersecție va fi marcat cu o literă.

Lungimea segmentului este. (găsiți problema în sine, unde am discutat acest punct), atunci vom găsi lungimea segmentului prin teorema lui Pitagora:

Lungimea liniei este exact aceeași cu ordonatele sale.

Răspuns: .

O alta solutie (voi da doar o poza care o ilustreaza)

Progresul soluției:

1. Conduita

2. Aflați coordonatele punctului și lungimea

3. Demonstrează că.

Încă una problema lungimii segmentului:

Punctele apar-la-are-sya ver-shi-na-mi tre-coal-ni-ka. Nay-di-te este lungimea liniei sale de mijloc, paral-lel-noy.

Îți amintești ce este linia de mijloc a unui triunghi? Atunci această sarcină este elementară pentru tine. Dacă nu vă amintiți, atunci vă reamintesc: linia de mijloc a unui triunghi este linia care leagă punctele medii ale laturilor opuse. Este paralel cu baza și egal cu jumătate din ea.

Baza este un segment de linie. A trebuit să-i căutăm lungimea mai devreme, este egală. Atunci lungimea liniei de mijloc este jumătate și egală.

Răspuns: .

Comentariu: această problemă poate fi rezolvată într-un alt mod, la care vom reveni puțin mai târziu.

Între timp, iată câteva sarcini pentru tine, exersează-le, sunt destul de simple, dar te ajută să „iei mâna” folosind metoda coordonatelor!

1. Punctele sunt ver-shi-na-mi tra-petsii. Nay-di-te este lungimea liniei sale de mijloc.

2. Puncte și are-la-is-sya ver-shi-na-mi pa-ra-le-lo-gram-ma. Nay-di-te or-di-na-tu puncte.

3. Nay-di-te lungime de la tăiere, co-single-nya-yu-shch-go punct și

4. Zona Nay-di-te a frumoasei fi-gu-ry pe planul co-or-di-nat-noy.

5. Cercul cu centrul la na-cha-le ko-or-di-nat trece prin punct. Nay-di-te ei ra-di-us.

6. Nai-di-te ra-di-us al cercului, descris-san-noy în jurul rect-coal-ni-ka, vârfurile lui ko-to-ro-go au un co-op -di-na -tu co-veterinar-dar

Solutii:

1. Se știe că linia de mijloc a unui trapez este egală cu jumătatea sumei bazelor sale. Baza este egală, iar baza este. Atunci

Răspuns:

2. Cel mai simplu mod de a rezolva această problemă este să observați că (regula paralelogramului). Calculați coordonatele vectorilor și nu este dificil:. Când se adaugă vectori, se adaugă coordonatele. Apoi are coordonate. Punctul are și el aceleași coordonate, deoarece originea vectorului este punctul cu coordonate. Ne intereseaza ordonata. Este egal.

Răspuns:

3. Acționăm imediat după formula distanței dintre două puncte:

Răspuns:

4. Uită-te la poză și spune-mi, între care două forme este „sandwich” zona umbrită? Este prins între două pătrate. Apoi aria figurii necesare este egală cu aria pătratului mare minus aria celui mic. Latura pătratului mic este un segment de linie care leagă punctele și lungimea sa este

Atunci aria pătratului mic este

Facem același lucru cu un pătrat mare: latura sa este un segment care leagă punctele și lungimea sa este

Atunci aria pătratului mare este

Găsim aria figurii necesare prin formula:

Răspuns:

5. Dacă cercul are ca centru originea coordonatelor și trece printr-un punct, atunci raza lui va fi exact egală cu lungimea segmentului (desenați o imagine și veți înțelege de ce acest lucru este evident). Să aflăm lungimea acestui segment:

Răspuns:

6. Se știe că raza unui cerc circumscris unui dreptunghi este egală cu jumătate din diagonala acestuia. Să găsim lungimea oricăreia dintre cele două diagonale (la urma urmei, într-un dreptunghi sunt egale!)

Răspuns:

Ei bine, te-ai ocupat de toate? Nu a fost foarte greu să-mi dau seama, nu-i așa? Regula aici este una - să poți face o imagine vizuală și pur și simplu să „citești” toate datele din ea.

Mai avem foarte puțin. Mai sunt literalmente două puncte pe care aș dori să le discut.

Să încercăm să rezolvăm această problemă simplă. Lăsați două puncte și să fie date. Găsiți coordonatele punctului de mijloc al segmentului. Soluția la această problemă este următoarea: fie punctul să fie punctul de mijloc dorit, apoi are coordonatele:

Acesta este: coordonatele punctului mijlociu al segmentului = media aritmetică a coordonatelor corespunzătoare ale capetelor segmentului.

Această regulă este foarte simplă și de obicei nu provoacă dificultăți elevilor. Să vedem ce sarcini și cum este folosit:

1. Nay-di-te or-di-na-tu-re-di-us din-cut, co-uni-nya-yu-shch-go punct și

2. Punctele apar-la-are-sya ver-shi-na-mi-you-rekh-coal-no-ka. Nay-di-te or-di-na-tu puncte de pe-re-se-ch-niya lui dia-go-na-lei.

3. Nay-di-acea abs-cis-su centru-tra al cercului, descris-san-noy lângă cărbune-no-ka, vârfurile ko-to-ro-go au co-op-di- na-tu co-veterinar-dar.

Solutii:

1. Prima problemă este doar o clasică. Acționăm imediat pentru a determina mijlocul segmentului. Are coordonate. ordonata este.

Răspuns:

2. Este ușor de observat că patrulaterul dat este un paralelogram (chiar și un romb!). Tu însuți poți dovedi acest lucru calculând lungimile laturilor și comparându-le între ele. Ce știu despre un paralelogram? Diagonalele sale sunt înjumătățite de punctul de intersecție! Aha! Deci, care este punctul de intersecție al diagonalelor? Acesta este mijlocul oricăreia dintre diagonale! Voi alege, în special, diagonala. Atunci punctul are coordonate. Ordonata punctului este egală cu.

Răspuns:

3. Cu ce ​​este centrul cercului circumscris dreptunghiului? El coincide cu punctul de intersecție al diagonalelor sale. Ce știi despre diagonalele unui dreptunghi? Sunt egale, iar intersecția este înjumătățită. Sarcina a fost redusă la cea anterioară. Luați diagonala, de exemplu. Atunci, dacă este centrul cercului circumscris, atunci este mijlocul. În căutarea coordonatelor: Abscisa este egală.

Răspuns:

Acum exersează-te puțin, voi da doar răspunsurile la fiecare problemă, astfel încât să te poți testa.

1. Nai-di-te ra-di-us al cercului, descris-san-noy in jurul triunghiului, varfurile co-to-ro-go au co-or-di -no misters

2. Nay-di-te or-di-na-tu center-tra al cercului, descrie-san-noy în jurul triunghiului-nik, vârfurile lui ko-to-ro-go au coordonate

3. Cum-to-ra-di-u-sa ar trebui să existe un cerc cu un centru în punct astfel încât să atingă axa abs-cisă?

4. Punctele Nay-di-te or-di-na-tu de re-însămânțare ale axei și tăiere, punctul co-uni-nya-yu-shch-go și

Raspunsuri:

ai reusit? Chiar sper! Acum - ultima împingere. Fii deosebit de atent acum. Materialul pe care îl voi explica acum este direct legat nu numai de probleme simple pe metoda coordonatelor din partea B, ci apare și peste tot în problema C2.

Pe care dintre promisiunile mele nu le-am ținut încă? Îți amintești ce operații pe vectori am promis să introduc și ce le-am introdus până la urmă? Sunt sigur că nu am uitat nimic? Uitat! Am uitat să explic ce înseamnă multiplicarea vectorilor.

Există două moduri de a înmulți un vector cu un vector. În funcție de metoda aleasă, vom obține obiecte de altă natură:

Produsul vectorial este destul de complicat. Cum să o faci și pentru ce este, vom discuta cu tine în următorul articol. Și în aceasta ne vom concentra pe produsul punct.

Există deja două moduri prin care îl putem calcula:

După cum ați ghicit, rezultatul ar trebui să fie același! Deci, să ne uităm mai întâi la primul mod:

Produs punctual în termeni de coordonate

Găsiți: - notație comună de produs punctual

Formula de calcul este următoarea:

Adică produsul punctual = suma produselor coordonatelor vectorilor!

Exemplu:

Nai di te

Soluţie:

Să găsim coordonatele fiecărui vector:

Calculăm produsul scalar cu formula:

Răspuns:

Vezi, absolut nimic complicat!

Ei bine, acum încearcă singur:

Nay-di-te scalar-noe pro-iz-ve-de-de-vek-to-moat and

Ai reușit? Poate ai observat o mică captură? Sa verificam:

Coordonatele vectorilor sunt aceleași ca în sarcina anterioară! Răspuns: .

Pe lângă coordonate, există o altă modalitate de a calcula produsul punctual, și anume, prin lungimile vectorilor și cosinusul unghiului dintre ei:

Indică unghiul dintre vectori și.

Adică produsul punctual este egal cu produsul lungimilor vectorilor și cosinusul unghiului dintre ei.

De ce avem nevoie de această a doua formulă, dacă avem prima, care este mult mai simplă, măcar nu există cosinus în ea. Și este necesar pentru a putea deduce din prima și a doua formulă cum să găsim unghiul dintre vectori!

Să ne amintim de formula pentru lungimea vectorului!

Apoi, dacă înlocuiesc aceste date în formula produsului punctual, atunci obțin:

Dar în alt fel:

Deci ce am primit tu și cu mine? Acum avem o formulă pentru a calcula unghiul dintre doi vectori! Uneori este scris și așa pentru concizie:

Adică, algoritmul pentru calcularea unghiului dintre vectori este următorul:

1. Calculați produsul scalar în termeni de coordonate
2. Aflați lungimile vectorilor și înmulțiți-le
3. Împărțiți rezultatul punctului 1 la rezultatul punctului 2

Să exersăm cu exemple:

1. Nay-di-te este unghiul dintre century-to-ra-mi și. Dați răspunsul în gra-du-sakh.

2. În condițiile problemei anterioare, găsiți cosinusul dintre vectori

Hai să facem asta: te voi ajuta să rezolvi prima problemă și încerc să o faci singur pe a doua! Sunt de acord? Atunci să începem!

1. Acești vectori sunt vechii noștri cunoștințe. Le-am numărat deja produsul punctual și a fost egal. Coordonatele lor sunt:,. Apoi găsim lungimile lor:

Atunci căutăm cosinusul dintre vectori:

Care este cosinusul unghiului? Acesta este colțul.

Răspuns:

Acum rezolvă singur a doua problemă și apoi vom compara! Vă voi oferi doar o soluție foarte scurtă:

2. are coordonate, are coordonate.

Fie unghiul dintre vectori și, atunci

Răspuns:

Trebuie remarcat faptul că problemele direct pe vectori și metoda coordonatelor din partea B a lucrării de examinare sunt destul de rare. Cu toate acestea, marea majoritate a problemelor C2 pot fi rezolvate cu ușurință prin introducerea unui sistem de coordonate. Deci, puteți considera acest articol drept fundație, pe baza căruia vom realiza construcții destul de viclene de care vom avea nevoie pentru a rezolva probleme complexe.

COORDONATE ȘI VECTORI. ROVEN MEDIU

Tu și cu mine continuăm să studiem metoda coordonatelor. În ultima parte, am derivat o serie de formule importante care vă permit să:

1. Găsiți coordonatele vectoriale
2. Găsiți lungimea unui vector (alternativ: distanța dintre două puncte)
3. Adăugați, scădeți vectori. Înmulțiți-le cu un număr real
4. Găsiți punctul de mijloc al unui segment de dreaptă
5. Calculați produsul scalar al vectorilor
6. Găsiți unghiul dintre vectori

Desigur, întreaga metodă de coordonate nu se încadrează în aceste 6 puncte. Se află în centrul unei astfel de științe precum geometria analitică, cu care trebuie să te familiarizezi la universitate. Vreau doar să construiesc o fundație care să vă permită să rezolvați problemele într-o singură stare. examen. Ne-am dat seama de sarcinile din partea B în Acum este timpul să trecem la un nivel calitativ nou! Acest articol va fi dedicat metodei de rezolvare a acelor probleme C2, în care ar fi rezonabil să trecem la metoda coordonatelor. Această raționalitate este determinată de ceea ce este necesar pentru a găsi în problemă și de ce cifră este dată. Deci, aș folosi metoda coordonatelor dacă întrebările sunt:

1. Aflați unghiul dintre două plane
2. Aflați unghiul dintre o dreaptă și un plan
3. Găsiți unghiul dintre două drepte
4. Aflați distanța de la un punct la un plan
5. Aflați distanța de la un punct la o linie dreaptă
6. Găsiți distanța de la o linie dreaptă la un avion
7. Aflați distanța dintre două linii drepte

Dacă cifra dată în enunțul problemei este un corp de revoluție (bilă, cilindru, con...)

Formele potrivite pentru metoda coordonatelor sunt:

1. Paralepiped dreptunghiular
2. Piramida (triunghiulara, patrangulara, hexagonala)

De asemenea, din experiența mea este nepotrivit să se folosească metoda coordonatelor pentru:

1. Găsirea zonelor de secțiune transversală
2. Calcularea volumului corpurilor

Cu toate acestea, trebuie remarcat imediat că trei situații „nefavorabile” pentru metoda coordonatelor sunt destul de rare în practică. În majoritatea sarcinilor, el poate deveni salvatorul tău, mai ales dacă nu ești foarte puternic în construcții tridimensionale (care uneori sunt destul de complicate).

Care sunt toate cifrele pe care le-am enumerat mai sus? Ele nu mai sunt plate, ca, de exemplu, un pătrat, triunghi, cerc, ci tridimensionale! În consecință, trebuie să luăm în considerare nu un sistem de coordonate bidimensional, ci un sistem de coordonate tridimensional. Se construieste destul de usor: doar pe langa axele de abscisa si ordonata, vom introduce inca o axa, axa aplicata. Figura arată schematic poziția lor relativă:

Toate sunt reciproc perpendiculare, se intersectează într-un punct, pe care îl vom numi origine. Se va nota axa absciselor, ca mai înainte, axa ordonatelor -, iar axa aplicată introdusă -.

Dacă mai devreme fiecare punct al planului a fost caracterizat de două numere - abscisa și ordonata, atunci fiecare punct din spațiu este deja descris de trei numere - abscisa, ordonata, aplicată. De exemplu:

În consecință, abscisa punctului este egală, ordonata este și aplicatul este.

Uneori, abscisa unui punct este denumită și proiecția punctului pe axa absciselor, ordonata este proiecția punctului pe axa ordonatelor, iar aplicația este proiecția punctului pe axa aplicată. În consecință, dacă este specificat un punct, atunci un punct cu coordonate:

se numește proiecția unui punct pe un plan

se numește proiecția unui punct pe un plan

Apare o întrebare firească: toate formulele derivate pentru cazul bidimensional sunt valabile în spațiu? Răspunsul este da, sunt corecte și arată la fel. Pentru un mic detaliu. Cred că ai ghicit deja pentru care. Va trebui să mai adăugăm un termen la toate formulele, care este responsabil pentru axa aplicată. Și anume.

1. Dacă sunt date două puncte:, atunci:

• Coordonatele vectoriale:
• Distanța dintre două puncte (sau lungimea vectorului)
• Mijlocul segmentului are coordonate

2. Dacă sunt dați doi vectori: și, atunci:

• Produsul lor punctual este:
• Cosinusul unghiului dintre vectori este:

Cu toate acestea, spațiul nu este atât de simplu. După cum vă puteți imagina, adăugarea unei alte coordonate introduce o varietate semnificativă în spectrul figurilor care „trăiesc” în acest spațiu. Și pentru o narațiune ulterioară trebuie să introduc câteva, aproximativ vorbind, „generalizare” a liniei drepte. Această „generalizare” este planul. Ce știi despre un avion? Încercați să răspundeți la întrebarea, ce este un avion? Este foarte greu de spus. Cu toate acestea, toți avem o idee intuitivă despre cum arată:

În linii mari, acesta este un fel de „frunză” nesfârșită ascunsă în spațiu. „Infinitul” trebuie înțeles că planul se extinde în toate direcțiile, adică aria sa este egală cu infinitul. Cu toate acestea, această explicație „pe degete” nu oferă cea mai mică idee despre structura avionului. Și ne va interesa.

Să ne amintim una dintre axiomele de bază ale geometriei:

• o linie dreaptă trece prin două puncte diferite ale planului, în plus, doar unul:

Sau omologul său în spațiu:

Desigur, vă amintiți cum să obțineți ecuația unei linii drepte din două puncte date, nu este deloc dificil: dacă primul punct are coordonate: iar al doilea, atunci ecuația dreptei va fi după cum urmează:

Ai trecut prin asta în clasa a VII-a. În spațiu, ecuația unei drepte arată astfel: să avem două puncte cu coordonate:, atunci ecuația unei drepte care trece prin ele are forma:

De exemplu, o linie dreaptă trece prin punctele:

Cum ar trebui să se înțeleagă acest lucru? Ar trebui înțeles după cum urmează: un punct se află pe o dreaptă dacă coordonatele sale satisfac următorul sistem:

Nu ne va interesa foarte mult ecuația dreptei, dar trebuie să fim atenți la conceptul foarte important al vectorului de direcție al unei linii. - orice vector diferit de zero situat pe linia dată sau paralel cu aceasta.

De exemplu, ambii vectori sunt vectori de direcție ai unei linii drepte. Fie un punct situat pe o dreaptă și vectorul său de direcție. Atunci ecuația dreptei se poate scrie sub următoarea formă:

Încă o dată, nu voi fi foarte interesat de ecuația unei linii drepte, dar chiar am nevoie să vă amintiți ce este un vector de direcție! Din nou: este ORICE vector diferit de zero situat pe o linie dreaptă sau paralel cu acesta.

Retrage ecuația unui plan în trei puncte date nu mai este atât de banal și, de obicei, această problemă nu este abordată într-un curs de liceu. Dar în zadar! Această tehnică este vitală atunci când folosim metoda coordonatelor pentru a rezolva probleme complexe. Totuși, presupun că ești dornic să înveți ceva nou? Mai mult, îți vei putea impresiona profesorul de la universitate atunci când se va dovedi că știi deja cu metodologia care se studiază de obicei în cadrul cursului de geometrie analitică. Asadar, haideti sa începem.

Ecuația unui plan nu este prea diferită de ecuația unei drepte pe un plan, și anume, are forma:

unele numere (nu toate egale cu zero), dar variabile, de exemplu: etc. După cum puteți vedea, ecuația planului nu este foarte diferită de ecuația unei linii drepte (funcție liniară). Totuși, îți amintești ce am spus tu și cu mine? Am spus că dacă avem trei puncte care nu se află pe o singură dreaptă, atunci ecuația planului poate fi reconstruită în mod unic din ele. Dar cum? Voi încerca să vă explic.

Deoarece ecuația planului are forma:

Și punctele aparțin acestui plan, atunci când înlocuim coordonatele fiecărui punct în ecuația planului, ar trebui să obținem identitatea corectă:

Astfel, devine necesar să se rezolve trei ecuații chiar și cu necunoscute! Dilemă! Cu toate acestea, puteți presupune întotdeauna că (pentru aceasta trebuie să împărțiți cu). Astfel, obținem trei ecuații cu trei necunoscute:

Cu toate acestea, nu vom rezolva un astfel de sistem, ci vom scrie o expresie misterioasă care decurge din el:

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte date

\ [\ stânga | (\ începe (matrice) (* (20) (c)) (x - (x_0)) și ((x_1) - (x_0)) și ((x_2) - (x_0)) \\ (y - (y_0) ) și ((y_1) - (y_0)) și ((y_2) - (y_0)) \\ (z - (z_0)) și ((z_1) - (z_0)) și ((z_2) - (z_0)) \ end (matrice)) \ dreapta | = 0 \]

Stop! Ce este asta? Un modul foarte neobișnuit! Totuși, obiectul pe care îl vezi în fața ta nu are nimic de-a face cu modulul. Acest obiect se numește determinant de ordinul trei. De acum înainte, când ai de-a face cu metoda coordonatelor pe un plan, vei întâlni de foarte multe ori acești determinanți. Ce este un determinant de ordinul trei? Destul de ciudat, acesta este doar un număr. Rămâne să înțelegem ce număr specific vom compara cu determinantul.

Să scriem mai întâi determinantul de ordinul trei într-o formă mai generală:

Unde sunt niște numere. Mai mult, prin primul index înțelegem numărul rândului, iar prin index - numărul coloanei. De exemplu, înseamnă că numărul dat se află la intersecția celui de-al doilea rând și a treia coloană. Să ne punem următoarea întrebare: cum anume vom calcula un astfel de determinant? Adică, ce număr specific îi vom potrivi? Pentru determinantul de ordinul al treilea, există o regulă euristică (vizuală) a triunghiului, arată astfel:

1. Produsul elementelor diagonalei principale (din colțul din stânga sus până în dreapta jos) produsul elementelor care formează primul triunghi „perpendicular” pe diagonala principală produsul elementelor care formează al doilea triunghi „perpendicular” pe diagonala principală
2. Produsul elementelor diagonalei secundare (din colțul din dreapta sus până în stânga jos) produsul elementelor care formează primul triunghi „perpendicular” pe diagonala secundară produsul elementelor care formează al doilea triunghi „perpendicular” pe secundar. diagonală
3. Atunci determinantul este egal cu diferența dintre valorile obținute la pas și

Dacă scriem toate acestea în numere, atunci obținem următoarea expresie:

Cu toate acestea, nu trebuie să memorați metoda de calcul în această formă, este suficient să păstrați triunghiurile și însăși ideea a ceea ce se adaugă la ce și ce se scade apoi din ce).

Să ilustrăm metoda triunghiului cu un exemplu:

1. Calculați determinantul:

Să ne dăm seama ce adăugăm și ce scădem:

Termenii care vin cu un „plus”:

Aceasta este diagonala principală: produsul elementelor este

Primul triunghi, „perpendicular pe diagonala principală: produsul elementelor este

Al doilea triunghi, „perpendicular pe diagonala principală: produsul elementelor este

Adăugați trei numere:

Termeni care vin cu un „minus”

Aceasta este o diagonală laterală: produsul elementelor este

Primul triunghi, „perpendicular pe diagonala laterală: produsul elementelor este

Al doilea triunghi, "perpendicular pe diagonala laterală: produsul elementelor este

Adăugați trei numere:

Tot ce rămâne de făcut este să scădem din suma termenilor plus suma termenilor minus:

În acest fel,

După cum puteți vedea, nu există nimic complicat și supranatural în calculul determinanților de ordinul trei. Este important să vă amintiți despre triunghiuri și să nu faceți erori aritmetice. Acum încearcă să-l calculezi singur:

Verificăm:

1. Primul triunghi perpendicular pe diagonala principală:
2. Al doilea triunghi perpendicular pe diagonala principală:
3. Suma termenilor cu plus:
4. Primul triunghi perpendicular pe diagonala laterală:
5. Al doilea triunghi perpendicular pe diagonala secundară:
6. Suma termenilor cu minus:
7. Suma termenilor cu un plus minus suma termenilor cu un minus:

Iată încă câțiva factori determinanți pentru tine, calculează-le singur valorile și compară-le cu răspunsurile:

Raspunsuri:

Ei bine, a coincis totul? Grozav, atunci poți merge mai departe! Dacă există dificultăți, atunci sfatul meu este următorul: pe Internet există o grămadă de programe pentru calcularea determinantului on-line. Tot ce aveți nevoie este să găsiți propriul determinant, să îl calculați singur și apoi să îl comparați cu ceea ce calculează programul. Și așa mai departe până când rezultatele încep să coincidă. Sunt sigur că acest moment nu va întârzia să apară!

Acum să ne întoarcem la determinantul pe care l-am scris când am vorbit despre ecuația unui plan care trece prin trei puncte date:

Tot ce aveți nevoie este să îi calculați valoarea direct (folosind metoda triunghiurilor) și să setați rezultatul la zero. Desigur, deoarece sunt variabile, veți obține o expresie care depinde de ele. Această expresie va fi ecuația planului care trece prin trei puncte date care nu se află pe o singură dreaptă!

Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu simplu:

1. Construiți ecuația planului care trece prin puncte

Să compunem determinantul pentru aceste trei puncte:

Să simplificăm:

Acum îl calculăm direct după regula triunghiurilor:

\ [(\ stânga | (\ începe (matrice) (* (20) (c)) (x + 3) & 2 & 6 \\ (y - 2) & 0 & 1 \\ (z + 1) & 5 & 0 \ end (matrice)) \ dreapta | = \ stânga ((x + 3) \ dreapta) \ cdot 0 \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 \ cdot \ stânga ((z + 1) \ dreapta) + \ stânga ((y - 2) \ dreapta) \ cdot 5 \ cdot 6 -) \]

Astfel, ecuația planului care trece prin puncte are forma:

Acum încercați să rezolvați singur o problemă și apoi o vom discuta:

2. Aflați ecuația planului care trece prin puncte

Ei bine, hai să discutăm acum soluția:

Compunem determinantul:

Și îi calculăm valoarea:

Atunci ecuația planului are forma:

Sau, reducând cu, obținem:

Acum două sarcini pentru autocontrol:

1. Construiți ecuația unui plan care trece prin trei puncte:

Raspunsuri:

A coincis totul? Din nou, dacă există anumite dificultăți, atunci sfatul meu este următorul: luați trei puncte din cap (cu un grad mare de probabilitate să nu se afle pe aceeași linie dreaptă), construiți un avion de-a lungul lor. Și apoi te verifici online. De exemplu, pe site:

Totuși, cu ajutorul determinanților, vom construi nu numai ecuația planului. Amintiți-vă că v-am spus că nu doar produsul punctual este definit pentru vectori. Există, de asemenea, un produs vectorial, precum și un produs mixt. Și dacă produsul punctual al doi vectori este un număr, atunci produsul vectorial al doi vectori va fi un vector, iar acest vector va fi perpendicular pe cei dați:

Mai mult, modulul său va fi egal cu aria paralelogramului construit pe vectori și. Vom avea nevoie de acest vector pentru a calcula distanța de la un punct la o linie dreaptă. Cum putem calcula produsul încrucișat al vectorilor și, dacă sunt date coordonatele lor? În ajutorul nostru ne vine din nou determinantul ordinului al treilea. Cu toate acestea, înainte de a trece la algoritmul de calcul al produsului vectorial, trebuie să fac o mică digresiune lirică.

Această digresiune se referă la vectorii de bază.

Ele sunt prezentate schematic în figură:

De ce crezi că se numesc de bază? Adevărul este că:

Sau in poza:

Valabilitatea acestei formule este evidentă, deoarece:

Produs vectorial

Acum pot începe să introduc produsul încrucișat:

Produsul vectorial al doi vectori este un vector care se calculează conform următoarei reguli:

Acum să dăm câteva exemple de calcul al unui produs încrucișat:

Exemplul 1: Găsiți produsul încrucișat al vectorilor:

Rezolvare: compun un determinant:

Si il calculez:

Acum, din notația în termeni de vectori de bază, voi reveni la notația obișnuită a unui vector:

În acest fel:

Acum încearcă.

Gata? Verificăm:

Și în mod tradițional două sarcini de control:

1. Găsiți produsul încrucișat al următorilor vectori:
2. Găsiți produsul încrucișat al următorilor vectori:

Raspunsuri:

Produs mixt a trei vectori

Ultima construcție de care am nevoie este un produs mixt de trei vectori. El, ca unul scalar, este un număr. Există două moduri de a o calcula. - printr-un determinant, - printr-un produs mixt.

Și anume, să avem trei vectori:

Apoi produsul mixt a trei vectori, notat cu, poate fi calculat ca:

1. - adică produsul mixt este produsul scalar al unui vector prin produsul încrucișat al altor doi vectori

De exemplu, produsul mixt a trei vectori este:

Încercați să îl calculați singur prin produsul încrucișat și asigurați-vă că rezultatele se potrivesc!

Și din nou - două exemple pentru o soluție independentă:

Raspunsuri:

Selectarea sistemului de coordonate

Ei bine, acum avem toate bazele necesare de cunoștințe pentru a rezolva probleme stereometrice complexe în geometrie. Cu toate acestea, înainte de a trece direct la exemple și algoritmi pentru soluționarea lor, cred că va fi util să ne oprim asupra unei alte întrebări: cum anume alegeți un sistem de coordonate pentru o anumită figură. La urma urmei, alegerea poziției relative a sistemului de coordonate și a figurii în spațiu va determina în cele din urmă cât de greoaie vor fi calculele.

Permiteți-mi să vă reamintesc că în această secțiune ne uităm la următoarele forme:

1. Paralepiped dreptunghiular
2. Prismă dreaptă (triunghiulară, hexagonală...)
3. Piramida (triunghiulara, patruunghiulara)
4. Tetraedrul (la fel ca piramida triunghiulara)

Pentru o cutie sau un cub dreptunghiular iti recomand urmatoarea constructie:

Adică voi plasa figura „în colț”. Cubul și paralelipipedul sunt forme foarte drăguțe. Pentru ei, puteți găsi întotdeauna cu ușurință coordonatele vârfurilor sale. De exemplu, dacă (așa cum se arată în imagine)

atunci coordonatele vârfurilor sunt după cum urmează:

Desigur, nu trebuie să vă amintiți acest lucru, dar este de dorit să vă amintiți cum să plasați cel mai bine un cub sau un paralelipiped dreptunghiular.

Prismă dreaptă

Prisma este o figură mai dăunătoare. Poate fi poziționat în spațiu în diferite moduri. Cu toate acestea, următoarea opțiune mi se pare cea mai acceptabilă:

Prisma triunghiulara:

Adică punem una dintre laturile triunghiului în întregime pe axă, iar unul dintre vârfuri coincide cu originea.

Prisma hexagonala:

Adică, unul dintre vârfuri coincide cu originea, iar una dintre laturi se află pe axă.

Piramida patruunghiulara si hexagonala:

O situație asemănătoare cu un cub: aliniați cele două laturi ale bazei cu axele de coordonate, aliniați unul dintre vârfuri cu originea. Singura dificultate mică va fi să calculați coordonatele punctului.

Pentru o piramidă hexagonală - la fel ca și pentru o prismă hexagonală. Sarcina principală, din nou, va fi găsirea coordonatelor vârfului.

Tetraedrul (piramida triunghiulara)

Situația este foarte asemănătoare cu cea pe care am dat-o pentru o prismă triunghiulară: un vârf coincide cu originea, o latură se află pe axa de coordonate.

Ei bine, acum tu și cu mine suntem în sfârșit aproape de a rezolva problemele. Din ceea ce am spus chiar la începutul articolului, ați putea trage următoarea concluzie: majoritatea problemelor C2 sunt împărțite în 2 categorii: probleme de colț și probleme de distanță. În primul rând, vom lua în considerare problema găsirii unui unghi. Ei, la rândul lor, sunt împărțiți în următoarele categorii (pe măsură ce dificultatea crește):

Găsirea colțurilor

1. Găsirea unghiului dintre două drepte
2. Aflarea unghiului dintre două plane

Să luăm în considerare aceste sarcini secvențial: începeți prin a găsi unghiul dintre două linii drepte. Ei bine, ține minte, tu și cu mine nu am rezolvat exemple similare înainte? Amintiți-vă, aveam deja ceva similar... Căutăm un unghi între doi vectori. Vă reamintesc, dacă sunt dați doi vectori: și, atunci unghiul dintre ei se găsește din raportul:

Acum avem un obiectiv - să găsim unghiul dintre două linii drepte. Să trecem la „imaginea plată”:

Câte unghiuri am obținut când două drepte se intersectează? Ca multe lucruri. Adevărat, doar două dintre ele nu sunt egale, în timp ce altele sunt verticale față de ei (și, prin urmare, coincid cu ei). Deci, ce unghi ar trebui să luăm în considerare unghiul dintre două drepte: sau? Aici regula este: unghiul dintre două linii drepte nu este întotdeauna mai mare de grade... Adică din două unghiuri, vom alege întotdeauna unghiul cu cea mai mică măsură a gradului. Adică, în această imagine, unghiul dintre două linii drepte este egal. Pentru a nu te deranja să găsești de fiecare dată cel mai mic dintre două unghiuri, matematicienii vicleni au sugerat să folosești modulul. Astfel, unghiul dintre două linii drepte este determinat de formula:

Tu, ca cititor atent, ar trebui să ai o întrebare: de unde, de fapt, obținem aceste numere de care avem nevoie pentru a calcula cosinusul unui unghi? Răspuns: le vom lua din vectorii de direcție ai dreptelor! Astfel, algoritmul pentru găsirea unghiului dintre două drepte este următorul:

1. Aplicam formula 1.

Sau mai detaliat:

1. Căutăm coordonatele vectorului de direcție al primei drepte
2. Căutăm coordonatele vectorului de direcție al celei de-a doua drepte
3. Calculați modulul produsului lor scalar
4. Căutăm lungimea primului vector
5. Căutăm lungimea celui de-al doilea vector
6. Înmulțirea rezultatelor de la punctul 4 cu rezultatele de la punctul 5
7. Împărțiți rezultatul punctului 3 la rezultatul punctului 6. Obținem cosinusul unghiului dintre drepte
8. Dacă acest rezultat vă permite să calculați exact unghiul, căutați-l
9. În caz contrar, scriem prin cosinus invers

Ei bine, acum este momentul să trecem la probleme: voi demonstra soluția primelor două în detaliu, voi prezenta soluția altuia într-o formă scurtă, iar pentru ultimele două probleme voi da doar răspunsuri, trebuie să efectuați singuri toate calculele pentru ei.

Sarcini:

1. În tet-ra-ed-re corect, nay-di-acea unghi între tu-așa-acea tet-ra-ed-ra și fața med-di-a-noy bo-kovy.

2. In pi-ra-mi-de de six-coal-noy dreptaci, laturile os-no-va-nia sunt egale, iar nervurile sunt egale, afla unghiul dintre liniile drepte si.

3. Lungimile tuturor marginilor corecte a patru-you-rekh-coal pi-ra-mi-dy sunt egale între ele. Nu-di-acele unghiuri dintre liniile drepte și dacă din-cut este tu-co-care dat pi-ra-mi-dy, punctul este se-re-di-na ei bo-ko- a doua coastă

4. Pe marginea cubului din punctul-me-che-na astfel încât Nay-di-te să fie unghiul dintre liniile drepte și

5. Punct - se-re-di-pe marginile cubului Nay-di-te unghiul dintre drepte si.

Nu întâmplător am aranjat sarcinile în această ordine. Deși nu ați avut încă timp să începeți navigarea în metoda coordonatelor, eu însumi voi analiza cele mai „problematice” figuri și vă voi lăsa să vă ocupați de cel mai simplu cub! Treptat, va trebui să înveți cum să lucrezi cu toate figurile; voi crește complexitatea sarcinilor de la subiect la subiect.

Să începem să rezolvăm problemele:

1. Desenați un tetraedru, plasați-l în sistemul de coordonate așa cum am sugerat mai devreme. Deoarece tetraedrul este regulat, toate fețele sale (inclusiv baza) sunt triunghiuri regulate. Deoarece nu ni se dă lungimea laturii, o pot lua egală. Cred că înțelegeți că unghiul nu va depinde cu adevărat de cât de mult este „întins” tetraedrul nostru?. De asemenea, voi desena înălțimea și mediana în tetraedru. Pe parcurs îi voi desena baza (ne va fi și nouă de folos).

Trebuie să găsesc unghiul dintre și. Ce știm? Știm doar coordonatele punctului. Aceasta înseamnă că trebuie să găsim și coordonatele punctelor. Acum ne gândim: un punct este punctul de intersecție al înălțimilor (sau bisectoarelor sau medianelor) triunghiului. Un punct este un punct ridicat. Punctul este mijlocul segmentului. Apoi, în sfârșit, trebuie să găsim: coordonatele punctelor:.

Să începem cu cel mai simplu: coordonatele punctului. Priviți imaginea: este clar că aplicația punctului este egală cu zero (punctul se află pe plan). Ordonata sa este (deoarece - mediana). Este mai greu să-i găsești abscisa. Cu toate acestea, acest lucru este ușor de realizat pe baza teoremei lui Pitagora: Luați în considerare un triunghi. Ipotenuza sa este egală, iar unul dintre catete este egal. Atunci:

În cele din urmă, avem:.

Acum să găsim coordonatele punctului. Este clar că aplicația sa este din nou egală cu zero, iar ordonata sa este aceeași cu cea a unui punct, adică. Să-i găsim abscisa. Acest lucru se face destul de banal dacă vă amintiți asta înălțimile unui triunghi echilateral se împart proporțional la punctul de intersecție numărând de sus. Deoarece:, atunci abscisa necesară a punctului, egală cu lungimea segmentului, este egală cu:. Astfel, coordonatele punctului sunt egale:

Să găsim coordonatele punctului. Este clar că abscisa și ordonatele sale coincid cu abscisa și ordonata punctului. Și aplicația este egală cu lungimea segmentului. - acesta este unul dintre catetele triunghiului. Ipotenuza unui triunghi este un segment - un catet. Se caută din considerentele pe care le-am evidențiat cu caractere aldine:

Punctul este punctul de mijloc al segmentului de dreaptă. Apoi trebuie să ne amintim formula pentru coordonatele punctului de mijloc al segmentului:

Asta este, acum putem căuta coordonatele vectorilor de direcție:

Ei bine, totul este gata: înlocuim toate datele în formula:

În acest fel,

Răspuns:

Nu ar trebui să te lași intimidat de astfel de răspunsuri „înfricoșătoare”: pentru problemele C2, aceasta este o practică obișnuită. Aș fi mai degrabă surprins de răspunsul „frumos” din această parte. De asemenea, după cum ați observat, practic nu am apelat la altceva decât la teorema lui Pitagora și la proprietatea înălțimilor unui triunghi echilateral. Adică, pentru a rezolva problema stereometrică, am folosit chiar minimul de stereometrie. Câștigul din aceasta este parțial „stins” prin calcule destul de greoaie. Dar sunt destul de algoritmici!

2. Să desenăm o piramidă hexagonală regulată împreună cu un sistem de coordonate, precum și baza acesteia:

Trebuie să găsim unghiul dintre linii și. Astfel, sarcina noastră se reduce la găsirea coordonatelor punctelor:. Vom găsi coordonatele ultimelor trei din imaginea mică și vom găsi coordonatele vârfului prin coordonatele punctului. Lucrați în vrac, dar trebuie să începeți!

a) Coordonata: este clar ca aplicata si ordonata ei sunt egale cu zero. Să găsim abscisa. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un triunghi dreptunghic. Din păcate, în ea nu cunoaștem decât ipotenuza, care este egală cu. Vom încerca să găsim piciorul (căci este clar că lungimea piciorului dublată ne va da abscisa punctului). Cum o putem găsi? Să ne amintim ce fel de figură avem la baza piramidei? Acesta este un hexagon obișnuit. Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că toate laturile și toate unghiurile sunt egale. Ar trebui să găsesc un astfel de colț. Vreo idee? Există o mulțime de idei, dar există o formulă:

Suma unghiurilor unui n-gon regulat este .

Astfel, suma unghiurilor unui hexagon regulat este egală cu grade. Atunci fiecare dintre unghiuri este egal cu:

Ne uităm din nou la poză. Este clar că segmentul este bisectoarea unghiului. Atunci unghiul este egal cu grade. Atunci:

Atunci unde.

Astfel, are coordonate

b) Acum putem găsi cu ușurință coordonatele punctului:.

c) Aflați coordonatele punctului. Deoarece abscisa sa coincide cu lungimea segmentului, este egală cu. Găsirea ordonatei nu este, de asemenea, foarte dificilă: dacă conectăm punctele și notăm punctul de intersecție al dreptei, să spunem, prin. (Constructie usoara DIY). Atunci, astfel, ordonata punctului B este egală cu suma lungimilor segmentelor. Să ne uităm din nou la triunghi. Atunci

Apoi, de atunci, punctul are coordonate

d) Acum găsim coordonatele punctului. Luați în considerare un dreptunghi și demonstrați că. Astfel, coordonatele punctului sunt:

e) Rămâne de găsit coordonatele vârfului. Este clar că abscisa și ordonatele sale coincid cu abscisa și ordonata punctului. Să găsim aplicatorul. De atunci. Luați în considerare un triunghi dreptunghic. Prin enunțul problemei, marginea laterală. Aceasta este ipotenuza triunghiului meu. Atunci înălțimea piramidei este piciorul.

Atunci punctul are coordonatele:

Bine, am coordonatele tuturor punctelor de interes pentru mine. Căutând coordonatele vectorilor de direcție ai liniilor drepte:

Căutăm unghiul dintre acești vectori:

Răspuns:

Din nou, în rezolvarea acestei probleme, nu am folosit niciun truc sofisticat, cu excepția formulei pentru suma unghiurilor unui n-gon regulat, precum și pentru determinarea cosinusului și sinusului unui triunghi dreptunghic.

3. Deoarece din nou nu ni se dau lungimile nervurilor din piramidă, le voi considera egale cu una. Astfel, deoarece TOATE muchiile, și nu numai cele laterale, sunt egale între ele, atunci la baza piramidei și eu se află un pătrat, iar marginile laterale sunt triunghiuri regulate. Să desenăm o astfel de piramidă, precum și baza ei pe un plan, marcând toate datele date în textul problemei:

Căutăm unghiul dintre și. Voi face calcule foarte scurte când voi căuta coordonatele punctelor. Va trebui să le „descifrați”:

b) - mijlocul segmentului. Coordonatele sale:

c) Voi găsi lungimea segmentului după teorema lui Pitagora într-un triunghi. Îl voi găsi într-un triunghi după teorema lui Pitagora.

Coordonate:

d) este punctul de mijloc al segmentului. Coordonatele sale sunt egale

e) Coordonate vectoriale

f) Coordonate vectoriale

g) Căutarea unui unghi:

Cubul este cea mai simplă figură. Sunt sigur că vă puteți da seama singur. Răspunsurile la problemele 4 și 5 sunt următoarele:

Aflarea unghiului dintre o linie dreaptă și un plan

Ei bine, timpul pentru sarcini simple a trecut! Acum exemplele vor fi și mai complicate. Pentru a găsi unghiul dintre o dreaptă și un plan, vom proceda după cum urmează:

1. Din trei puncte construim ecuația planului
   ,
   folosind un determinant de ordinul trei.
2. Căutăm coordonatele vectorului de direcție al dreptei prin două puncte:
3. Aplicam formula pentru a calcula unghiul dintre o dreapta si un plan:

După cum puteți vedea, această formulă este foarte asemănătoare cu cea pe care am folosit-o pentru a găsi unghiurile dintre două linii drepte. Structura părții drepte este aceeași, iar în stânga căutăm acum sinusul, nu cosinusul, ca înainte. Ei bine, a fost adăugată o acțiune urâtă - căutarea ecuației avionului.

Să nu amânăm solutie de exemple:

1. Os-no-va-no-em direct prize-suntem-la-este-egali-dar-săraci-ric-ny triunghiular-nick Tu-deci-acea premiu-noi suntem egali. Nai di te unghi între drept și plat

2. În pa-ra-le-le-pi-pe-de dreptunghiular din unghiul de vest Nay-di-te dintre linie dreaptă și plan

3. În prisma corectă cu șase cărbuni, toate marginile sunt egale. Nu-di-acele unghiuri dintre linie dreaptă și plan.

4. In pi-ra-mi-de triunghiular dreapta cu os-no-va-ni-se cunoaste nervuri unghiul Nay-di-te, ob-ra-zo-van -planeitatea firului os-no. -va-nia și drept, pro-ho-dya-shi prin se-re-di-us-ul coastelor și

5. Lungimile tuturor nervurilor piramidei corecte cu patru colțuri cu vârf sunt egale între ele. Nay-di-te este unghiul dintre o linie dreaptă și un plan, dacă punctul este se-re-di-na bo-ko-th ribs pi-ra-mi-dy.

Din nou voi rezolva primele două probleme în detaliu, pe a treia - pe scurt, iar ultimele două vă las pe voi să le rezolvați singur. În plus, te-ai ocupat deja cu piramidele triunghiulare și pătrangulare, dar nu cu prisme încă.

Solutii:

1. Să înfățișăm prisma, precum și baza acesteia. Să-l combinăm cu sistemul de coordonate și să marchem toate datele date în enunțul problemei:

Îmi cer scuze pentru o oarecare nerespectare a proporțiilor, dar pentru rezolvarea problemei, acest lucru, de fapt, nu este atât de important. Avionul este doar „peretele din spate” al prismei mele. Este destul de ușor de ghicit că ecuația unui astfel de plan are forma:

Cu toate acestea, acest lucru poate fi afișat direct:

Să alegem trei puncte arbitrare pe acest plan: de exemplu,.

Să compunem ecuația planului:

Un exercițiu pentru tine: calculează singur acest determinant. ai facut-o? Atunci ecuația plană are forma:

Sau pur și simplu

În acest fel,

Pentru a rezolva exemplul, trebuie să găsesc coordonatele vectorului de direcție al unei linii drepte. Deoarece punctul a coincis cu originea, coordonatele vectorului vor coincide pur și simplu cu coordonatele punctului.Pentru a face acest lucru, găsim mai întâi coordonatele punctului.

Pentru a face acest lucru, luați în considerare un triunghi. Să desenăm înălțimea (este mediana și bisectoarea) de la vârf. Deoarece, atunci ordonata punctului este egală cu. Pentru a găsi abscisa acestui punct, trebuie să calculăm lungimea segmentului. După teorema lui Pitagora avem:

Atunci punctul are coordonatele:

Un punct este „ridicat” cu un punct:

Atunci coordonatele vectorului:

Răspuns:

După cum puteți vedea, nu este nimic fundamental dificil în rezolvarea unor astfel de probleme. De fapt, procesul simplifică și mai mult „dreptatea” unei forme precum o prismă. Acum să trecem la următorul exemplu:

2. Desenați un paralelipiped, trageți un plan și o linie dreaptă în el și, de asemenea, desenați separat baza sa inferioară:

În primul rând, găsim ecuația planului: Coordonatele a trei puncte aflate în el:

(primele două coordonate au fost obținute într-un mod evident, iar ultima coordonată o puteți găsi cu ușurință din imaginea punctului). Apoi compunem ecuația planului:

Calculam:

Căutăm coordonatele vectorului de direcție: este clar că coordonatele acestuia coincid cu coordonatele punctului, nu-i așa? Cum aflu coordonatele? Acestea sunt coordonatele punctului, ridicate de-a lungul axei aplicației cu una! ... Atunci căutăm unghiul necesar:

Răspuns:

3. Desenați o piramidă hexagonală obișnuită, apoi desenați în ea un plan și o linie dreaptă.

Aici chiar și desenarea unui avion este problematică, ca să nu mai vorbim de soluția acestei probleme, dar metoda coordonatelor nu-i pasă! Principalul său avantaj constă în versatilitatea sa!

Avionul trece prin trei puncte:. Căutăm coordonatele lor:

unu) . Desenați singur coordonatele ultimelor două puncte. Soluția la problema cu o piramidă hexagonală va veni la îndemână pentru asta!

2) Construim ecuația planului:

Căutăm coordonatele vectorului:. (vezi din nou problema piramidei triunghiulare!)

3) În căutarea unui unghi:

Răspuns:

După cum puteți vedea, nu există nimic supranatural de dificil în aceste sarcini. Trebuie doar să fii foarte atent cu rădăcinile. Pentru ultimele două probleme, voi da doar răspunsuri:

După cum puteți vedea, tehnica de rezolvare a problemelor este aceeași peste tot: sarcina principală este să găsiți coordonatele vârfurilor și să le înlocuiți în unele formule. Rămâne să luăm în considerare încă o clasă de probleme pentru calcularea unghiurilor, și anume:

Calcularea unghiurilor dintre două plane

Algoritmul de soluție va fi următorul:

1. În trei puncte, căutăm ecuația primului plan:
2. Pentru celelalte trei puncte, căutăm ecuația celui de-al doilea plan:
3. Aplicam formula:

După cum puteți vedea, formula este foarte asemănătoare cu cele două anterioare, cu ajutorul cărora am căutat unghiurile dintre drepte și dintre o dreaptă și un plan. Așa că să-ți amintești de acesta nu va fi dificil pentru tine. Să trecem direct la analiza sarcinilor:

1. O sută de ro-na a os-no-va-nia prismei triunghiulare drepte este egală, iar dia-go-nalul feței mari este egală. Nu-di-acele unghiuri dintre plan și planul prismei.

2. În patru-you-rekh-coal-noy pi-ra-mi-de corectă, ale căror margini sunt egale, găsiți sinusul unghiului dintre plan și plan to-stu, pro-ho- dya-shchey prin punctul per-pen-di-ku-lar-dar drept.

3. În prisma corectă de patru-voi-rekh-cărbune, laturile os-no-va-nia sunt egale, iar laturile sunt egale. Pe margine este un punct astfel încât. Găsiți unghiul dintre plan-la-sti-mi și

4. În prisma dreaptă cu patru colțuri, laturile os-no-va-nia sunt egale, iar marginile laterale sunt egale. Pe marginea de la-me-che-la punct astfel încât Nay-di-te este unghiul dintre plane-to-st-mi și.

5. În cubul nay-di-te ko-si-nus al unghiului dintre planul-ko-sti-mi și

Rezolvarea problemelor:

1. Desenez o prismă triunghiulară regulată (la bază - un triunghi echilateral) și marchez pe ea planurile care apar în enunțul problemei:

Trebuie să găsim ecuațiile a două plane: Ecuația bazei este banală: puteți compune determinantul corespunzător din trei puncte, dar voi compune ecuația imediat:

Acum vom găsi ecuația Punctul are coordonate Punctul - Deoarece este mediana și înălțimea triunghiului, este ușor de găsit într-un triunghi prin teorema lui Pitagora. Atunci punctul are coordonate: Găsiți aplicația punctului Pentru a face acest lucru, luați în considerare un triunghi dreptunghic

Apoi obținem următoarele coordonate: Întocmește ecuația planului.

Calculăm unghiul dintre plane:

Răspuns:

2. Realizarea unui desen:

Cel mai greu este să înțelegeți ce este acest plan misterios, care trece printr-un punct perpendicular. Ei bine, principalul lucru este ce este asta? Principalul lucru este atenția! Într-adevăr, linia este perpendiculară. Linia dreaptă este de asemenea perpendiculară. Apoi, planul care trece prin aceste două drepte va fi perpendicular pe dreapta și, apropo, va trece prin punct. Acest avion trece și prin vârful piramidei. Apoi avionul dorit - Și avionul ne-a fost deja dat. Căutăm coordonatele punctelor.

Găsiți coordonatele punctului prin punct. Din figura mică este ușor de dedus că coordonatele punctului vor fi după cum urmează: Ce mai rămâne acum de găsit pentru a găsi coordonatele vârfului piramidei? De asemenea, trebuie să-i calculați înălțimea. Acest lucru se face folosind aceeași teoremă a lui Pitagora: mai întâi, demonstrați că (trivial din triunghiuri mici care formează un pătrat la bază). Deoarece prin condiție avem:

Acum totul este gata: coordonatele vârfului:

Compunem ecuația planului:

Ești deja special în calcularea determinanților. Puteți obține cu ușurință:

Sau altfel (dacă înmulțim ambele părți cu rădăcina a două)

Acum găsim ecuația planului:

(Nu ați uitat cum obținem ecuația avionului, nu? Dacă nu înțelegeți de unde a venit acest minus, atunci reveniți la definiția ecuației avionului! Doar că înainte s-a întors a aflat că originea coordonatelor aparținea avionului meu!)

Calculăm determinantul:

(Puteți vedea că ecuația planului coincide cu ecuația dreptei care trece prin puncte și! Gândiți-vă de ce!)

Acum calculăm unghiul:

Trebuie să găsim sinusul:

Răspuns:

3. O întrebare dificilă: ce crezi că este o prismă dreptunghiulară? E doar un paralelipiped pe care îl cunoști bine! Faceți un desen imediat! Este posibil chiar să nu descrieți baza separat, există puține beneficii de pe urma ei aici:

Planul, așa cum am observat mai devreme, este scris sub forma unei ecuații:

Acum alcătuim avionul

Compunem imediat ecuația planului:

Caut un unghi:

Acum răspunsurile la ultimele două probleme:

Ei bine, acum este momentul să luăm o pauză, pentru că tu și cu mine suntem grozavi și am făcut o treabă grozavă!

Coordonate și vectori. Nivel avansat

În acest articol, vom discuta cu tine o altă clasă de probleme care pot fi rezolvate folosind metoda coordonatelor: problemele de distanță. Și anume, tu și cu mine vom lua în considerare următoarele cazuri:

1. Calculul distanței dintre liniile încrucișate.

Am ordonat aceste sarcini pe măsură ce complexitatea lor crește. Se dovedește a fi cel mai ușor de găsit distanta de la punct la plan, iar cel mai greu este de găsit distanța dintre liniile de trecere... Deși, desigur, nimic nu este imposibil! Să nu amânăm și să trecem imediat la luarea în considerare a primei clase de probleme:

Calcularea distanței de la un punct la un plan

De ce avem nevoie pentru a rezolva această problemă?

1. Coordonatele punctului

Deci, de îndată ce obținem toate datele necesare, aplicăm formula:

Ar trebui să știți deja cum construim ecuația planului din problemele anterioare pe care le-am discutat în ultima parte. Să trecem imediat la sarcini. Schema este următoarea: 1, 2, te ajut să rezolvi, iar în detaliu, 3, 4 - doar răspunsul, iei singur decizia și compari. Să începem!

Sarcini:

1. Dat un cub. Lungimea muchiei cubului este. Nay-di-te distanta-i-ni de la se-re-di-us de la-cut la flat-to-sti

2. Având în vedere dreapta-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-kovoe edge side-ro-na os-no-va-nia este egală. Nay-di-te distanta-i-nie de la punct la plan-la-sti unde - se-re-di-na coaste.

3. In pi-ra-mi-de triunghiular dreapta cu os-but-va-ni, muchia bo-kov este egala, iar side-ro-na este-no-va- este egala cu. Nay-di-te distanță-i-nye de la vârf la avion.

4. Într-o prismă obișnuită cu șase cărbuni, toate marginile sunt egale. Nay-di-te distanța-i-nye de la punct la plan.

Solutii:

1. Desenați un cub cu muchii unitare, construiți un segment și un plan, notați mijlocul segmentului cu litera

.

În primul rând, să începem cu unul ușor: găsiți coordonatele unui punct. De atunci (amintiți-vă de coordonatele punctului de mijloc al segmentului!)

Acum compunem ecuația planului din trei puncte

\ [\ stânga | (\ begin (matrice) (* (20) (c)) x & 0 & 1 \\ y & 1 & 0 \\ z & 1 & 1 \ end (matrice)) \ dreapta | = 0 \]

Acum pot începe să caut distanța:

2. Începeți din nou cu desenul, pe care notăm toate datele!

Pentru piramidă, ar fi util să-i desenezi baza separat.

Nici chiar faptul că desenez ca un pui cu laba nu ne împiedică să rezolvăm cu ușurință această problemă!

Acum este ușor să găsiți coordonatele unui punct

Din moment ce coordonatele punctului, atunci

2. Deoarece coordonatele punctului a sunt punctul de mijloc al segmentului, atunci

De asemenea, putem găsi coordonatele a încă două puncte din plan fără probleme. Compunem ecuația planului și o simplificăm:

\ [\ stânga | (\ stânga | (\ începe (matrice) (* (20) (c)) x & 1 & (\ frac (3) (2)) \\ y & 0 & (\ frac (3) (2)) \ \ z & 0 & (\ frac ( (\ sqrt 3)) (2)) \ end (matrice)) \ dreapta |) \ dreapta | = 0 \]

Deoarece punctul are coordonatele:, atunci calculăm distanța:

Răspuns (foarte rar!):

Ei bine, v-ați dat seama? Mi se pare că totul aici este la fel de tehnic ca în exemplele pe care le-am analizat împreună cu dumneavoastră în partea anterioară. Deci sunt sigur că, dacă ați stăpânit acel material, atunci nu vă va fi greu să rezolvați celelalte două probleme. Voi da doar răspunsurile:

Calcularea distanței de la o linie dreaptă la un plan

De fapt, nu este nimic nou aici. Cum pot fi situate o linie și un plan unul față de celălalt? Au toate posibilitățile: se intersectează sau o linie dreaptă este paralelă cu planul. Care credeți că este distanța de la o linie dreaptă la planul cu care se intersectează această linie dreaptă? Mi se pare că aici este clar că o astfel de distanță este egală cu zero. Un caz neinteresant.

Al doilea caz este mai complicat: aici distanța este deja diferită de zero. Cu toate acestea, deoarece linia este paralelă cu planul, atunci fiecare punct al dreptei este echidistant de acest plan:

În acest fel:

Și asta înseamnă că sarcina mea a fost redusă la cea anterioară: căutăm coordonatele oricărui punct pe o dreaptă, căutăm ecuația planului, calculăm distanța de la un punct la plan. De fapt, astfel de sarcini sunt extrem de rare la examen. Am reușit să găsesc o singură problemă, iar datele din ea erau de așa natură încât metoda coordonatelor nu i-a fost foarte aplicabilă!

Acum să trecem la o altă clasă de probleme, mult mai importantă:

Calcularea distanței dintre un punct și o dreaptă

De ce avem nevoie?

1. Coordonatele punctului de la care căutăm distanța:

2. Coordonatele oricărui punct situat pe o linie dreaptă

3. Coordonatele vectorului de direcție al unei drepte

Ce formulă folosim?

Ce înseamnă pentru tine numitorul unei fracții date și, prin urmare, ar trebui să fie clar: aceasta este lungimea vectorului de direcție al unei linii drepte. Există un numărător foarte complicat aici! Expresia înseamnă modulul (lungimea) produsului vectorial al vectorilor și Cum se calculează produsul încrucișat, am studiat în partea anterioară a lucrării. Reîmprospătează-ți cunoștințele, ne vor fi foarte utile acum!

Astfel, algoritmul de rezolvare a problemelor va fi următorul:

1. Căutăm coordonatele punctului de la care căutăm distanța:

2. Căutăm coordonatele oricărui punct de pe linia dreaptă până la care căutăm distanța:

3. Construiți un vector

4. Construiți vectorul direcție al dreptei

5. Calculați produsul încrucișat

6. Căutăm lungimea vectorului rezultat:

7. Calculați distanța:

Avem mult de lucru, iar exemplele vor fi destul de complexe! Așa că acum concentrează-ți toată atenția!

1. Dana este un pi-ra-mi-da triunghiular drept-vil-naya cu vârf. O sută-ro-na os-no-va-nia pi-ra-mi-dy este egală, tu-deci-aceasta este egală. Nay-di-cele distanța-i-nye de la se-re-di-ny a coastei bo-ko-th la linia dreaptă, unde punctele și sunt se-re-di-ny-ul coastelor și așadar -de la- veterinar-dar.

2. Lungimile nervurilor și pa-ral-le-le-pi-pe-da dreptunghiulare sunt egale, respectiv, iar Nay-di-acele distanță de la vârf la drept.

3. În prisma cu șase cărbuni din dreapta, toate marginile unui roi sunt egale aflați-di-acea distanță de la un punct la o linie dreaptă

Solutii:

1. Facem un desen îngrijit pe care notăm toate datele:

Avem mult de lucru cu tine! Mai întâi aș dori să descriu în cuvinte ce vom căuta și în ce ordine:

1. Coordonatele punctelor și

2. Coordonatele punctului

3. Coordonatele punctelor și

4. Coordonatele vectorilor şi

5. Produsul lor încrucișat

6. Lungimea vectorului

7. Lungimea produsului vectorial

8. Distanța de la până la

Ei bine, avem mult de lucru! Ne apucăm, suflecându-ne mânecile!

1. Pentru a afla coordonatele înălțimii piramidei, trebuie să cunoaștem coordonatele punctului.Aplicația acestuia este egală cu zero, iar ordonata este egală cu Abscisa, este egală cu lungimea segmentului.Deoarece este înălțimea unui triunghi echilateral, se împarte în relație, numărând de la vârf, de acum înainte. În sfârșit, am obținut coordonatele:

Coordonatele punctului

2. - mijlocul segmentului

3. - mijlocul segmentului

Punctul de mijloc al segmentului

4.Coordonate

Coordonatele vectoriale

5. Calculăm produsul încrucișat:

6. Lungimea vectorului: cel mai simplu mod este să înlocuiți că segmentul este linia de mijloc a triunghiului, ceea ce înseamnă că este egal cu jumătatea bazei. Astfel încât.

7. Considerăm lungimea produsului vectorial:

8. În sfârșit, găsim distanța:

Pf, asta e! Sincer, rezolvarea acestei probleme folosind metode traditionale (prin constructii) ar fi mult mai rapida. Dar aici am redus totul la un algoritm gata făcut! Cred că algoritmul de soluție este clar pentru tine? Prin urmare, vă voi cere să rezolvați singur cele două probleme rămase. Să comparăm răspunsurile?

Din nou, repet: este mai ușor (mai rapid) să rezolvi aceste probleme prin construcții, și nu apelând la metoda coordonatelor. Am demonstrat această soluție doar pentru a vă arăta o metodă universală care vă permite să „nu completați nimic”.

În cele din urmă, luați în considerare ultima clasă de probleme:

Calcularea distanței dintre liniile încrucișate

Aici algoritmul de rezolvare a problemelor va fi similar cu cel anterior. Ce avem:

3. Orice punct de legătură vector al primei și celei de-a doua drepte:

Cum găsim distanța dintre liniile drepte?

Formula este următoarea:

Numătorul este modulul produsului mixt (l-am introdus în partea anterioară), iar numitorul este același ca în formula anterioară (modulul produsului vectorial al vectorilor de direcție ai dreptelor, distanța dintre care căutăm).

Îți voi aminti că

atunci formula pentru distanță poate fi rescrisă ca:

Un fel de determinant împărțit de un determinant! Deși, sincer să fiu, nu am timp de glume aici! Această formulă, de fapt, este foarte greoaie și duce la calcule destul de complicate. Daca as fi in locul tau, l-as folosi doar ca ultima solutie!

Să încercăm să rezolvăm câteva probleme folosind metoda de mai sus:

1. În prisma triunghiulară corectă, toate muchiile sunt egale, găsiți distanța dintre liniile drepte și.

2. Având în vedere o prismă triunghiulară dreaptă, toate marginile os-no-va-ției unui roi sunt nervuri egale și nervuri se-re-di-well yav-la-et-sya square-ra-tom. Nay-di-te distanta-i-nie intre drept-we-mi si

Eu o decid pe prima, iar pe baza ei, tu decizi pe a doua!

1. Desenați o prismă și marcați liniile drepte și

Coordonatele punctului C: atunci

Coordonatele punctului

Coordonatele vectoriale

Coordonatele punctului

Coordonatele vectoriale

Coordonatele vectoriale

\ [\ stânga ((B, \ overrightarrow (A (A_1)) \ overrightarrow (B (C_1))) \ dreapta) = \ stânga | (\ begin (matrice) (* (20) (l)) (\ begin (matrice) (* (20) (c)) 0 & 1 & 0 \ end (matrice)) \\ (\ begin (matrice) ( * (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (matrice)) \\ (\ begin (matrice) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (matrice)) \ end (matrice)) \ dreapta | = \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \]

Considerăm produsul încrucișat între vectori și

\ [\ overrightarrow (A (A_1)) \ cdot \ overrightarrow (B (C_1)) = \ stânga | \ begin (matrice) (l) \ begin (matrice) (* (20) (c)) (\ overrightarrow i) & (\ overrightarrow j) & (\ overrightarrow k) \ end (matrice) \\\ begin (matrice ) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (matrice) \\\ begin (matrice) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (matrice) \ end (matrice) \ dreapta | - \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \ overrightarrow k + \ frac (1) (2) \ overrightarrow i \]

Acum îi calculăm lungimea:

Răspuns:

Acum încercați să finalizați a doua sarcină cu atenție. Răspunsul la aceasta va fi:.

Coordonate și vectori. Scurtă descriere și formule de bază

Un vector este un segment de linie direcționată. - începutul vectorului, - sfârşitul vectorului.
Vectorul este notat cu sau.

Valoare absolută vector - lungimea segmentului care reprezintă vectorul. Este indicat ca.

Coordonatele vectoriale:

,
unde sunt capetele vectorului \ displaystyle a.

Suma vectorilor:.

Produsul vectorilor:

Produsul punctual al vectorilor:

Produsul scalar al vectorilor este egal cu produsul valorilor lor absolute cu cosinusul unghiului dintre ei:

RĂMĂSUL 2/3 ARTICOLE SUNT DISPONIBILE NUMAI STUDENTILOR YOUCLEVER!

Deveniți student YouClever,

Pregătiți-vă pentru OGE sau USE în matematică la prețul „o ceașcă de cafea pe lună”,

Și, de asemenea, obțineți acces nelimitat la manualul „YouClever”, programul de instruire „100gia” (reshebnik), o versiune de probă nelimitată USE și OGE, 6000 de probleme cu analiza soluțiilor și la alte servicii YouClever și 100gia.

Un astfel de concept ca vector este considerat în aproape toate științele naturii și poate avea semnificații complet diferite, prin urmare este imposibil să se ofere o definiție clară a unui vector pentru toate zonele. Dar să încercăm să ne dăm seama. Deci un vector - ce este?

Concept de vector în geometria clasică

Un vector în geometrie este un segment pentru care se indică care dintre punctele sale este începutul și care este sfârșitul. Adică, pentru a spune simplu, un vector este un segment direcționat.

În consecință, un vector este notat (ce este - discutat mai sus), ca un segment, adică două litere majuscule ale alfabetului latin cu adăugarea unei linii sau a unei săgeți îndreptate spre dreapta sus. Poate fi semnat și cu o literă mică (mici) din alfabetul latin cu o linie sau săgeată. Săgeata este întotdeauna îndreptată spre dreapta și nu se modifică în funcție de locația vectorului.

Deci un vector are o direcție și o lungime.

Desemnarea vectorului conține și direcția acestuia. Acest lucru este exprimat ca în figura de mai jos.

Schimbarea direcției inversează valoarea vectorului.

Lungimea unui vector este lungimea segmentului din care este format. Este desemnat ca un modul al unui vector. Acest lucru este prezentat în figura de mai jos.

În consecință, un vector a cărui lungime este egală cu zero este zero. De aici rezultă că vectorul zero este un punct, iar punctele de început și de sfârșit coincid în el.

Lungimea vectorului - valoarea nu este întotdeauna negativă. Cu alte cuvinte, dacă există un segment, atunci acesta are în mod necesar o anumită lungime sau este un punct, atunci lungimea lui este zero.

Însuși conceptul de punct este de bază și nu are definiție.

Adăugarea vectorului

Există formule și reguli speciale pentru vectori pe care le puteți folosi pentru a efectua adunări.

Regula triunghiului. Pentru a adăuga vectori conform acestei reguli, este suficient să combinați sfârșitul primului vector și începutul celui de-al doilea, folosind translația paralelă, și să le conectați. Al treilea vector rezultat va fi egal cu adăugarea celorlalți doi.

Regula paralelogramului. Pentru a adăuga conform acestei reguli, este necesar să desenați ambii vectori dintr-un punct și apoi să desenați un alt vector de la capătul fiecăruia dintre ei. Adică, al doilea va fi desenat din primul vector, iar primul va fi desenat din al doilea. Rezultatul este un nou punct de intersecție și un paralelogram. Dacă combinați punctul de intersecție al începuturilor și sfârșitului vectorilor, atunci vectorul rezultat va fi rezultatul adunării.

Scăderea este, de asemenea, posibilă într-un mod similar.

Vectori de diferență

Similar cu adăugarea vectorilor, este posibil să se efectueze scăderea acestora. Se bazează pe principiul prezentat în figura de mai jos.

Adică este suficient să reprezinte vectorul care trebuie scăzut sub forma unui vector opus acestuia și să se calculeze după principiile adunării.

De asemenea, absolut orice vector diferit de zero poate fi înmulțit cu orice număr k, acest lucru își va schimba lungimea de k ori.

Pe lângă acestea, există și alte formule vectoriale (de exemplu, pentru a exprima lungimea unui vector în funcție de coordonatele acestuia).

Vectori de poziţionare

Cu siguranță mulți au dat peste un astfel de concept ca un vector coliniar. Ce este coliniaritatea?

Coliniaritatea vectorilor este echivalentă cu paralelismul liniilor drepte. Dacă doi vectori se află pe linii drepte paralele între ele sau pe o singură dreaptă, atunci astfel de vectori se numesc coliniari.

Direcţie. Vectorii coliniari unul față de celălalt pot fi co-direcționali sau direcționați opus, acest lucru este determinat de direcția vectorilor. În consecință, dacă un vector este co-direcționat cu altul, atunci vectorul opus acestuia este direcționat opus.

Prima figură prezintă doi vectori direcționați opus și a treia, care nu este coliniar cu ei.

După introducerea proprietăților de mai sus, este posibil să se dea o definiție vectorilor egali - aceștia sunt vectori care sunt direcționați într-o direcție și au aceeași lungime a segmentelor din care sunt formați.

În multe științe, este folosit și conceptul de vector cu rază. Un astfel de vector descrie poziția unui punct pe plan față de un alt punct fix (de multe ori aceasta este originea).

Vectori în fizică

Să presupunem că, la rezolvarea problemei, a apărut condiția: corpul se mișcă cu o viteză de 3 m/s. Aceasta înseamnă că corpul se mișcă cu o direcție specifică de-a lungul unei linii drepte, astfel încât această variabilă va fi o valoare vectorială. Pentru soluție, este important să se cunoască atât valoarea, cât și direcția, deoarece, în funcție de considerent, viteza poate fi egală atât cu 3 m / s, cât și cu -3 m / s.

În general, un vector în fizică este folosit pentru a indica direcția forței care acționează asupra unui corp și pentru a determina rezultanta.

Când aceste forțe sunt indicate în figură, ele sunt indicate prin săgeți cu semnătura vectorului deasupra acestuia. În mod clasic, lungimea săgeții este la fel de importantă, cu ajutorul acesteia indică ce forță acționează mai puternic, dar această proprietate este secundară, nu ar trebui să te bazezi pe ea.

Vector în algebră liniară și calcul

Elementele spațiilor liniare sunt numite și vectori, dar în acest caz sunt un sistem ordonat de numere care descriu unele dintre elemente. Prin urmare, direcția în acest caz nu mai are nicio importanță. Definiția unui vector în geometria clasică și în analiza matematică este foarte diferită.

Proiectarea vectorilor

Vector proiectat - ce este?

Destul de des, pentru un calcul corect și convenabil, este necesară extinderea unui vector situat în spațiu bidimensional sau tridimensional de-a lungul axelor de coordonate. Această operație este necesară, de exemplu, în mecanică atunci când se calculează forțele care acționează asupra unui corp. Vectorul este folosit destul de des în fizică.

Pentru a efectua o proiecție, este suficient să aruncați perpendicularele de la începutul și sfârșitul vectorului către fiecare dintre axele de coordonate, segmentele obținute pe acestea se vor numi proiecția vectorului pe axă.

Pentru a calcula lungimea proiecției, este suficient să înmulțiți lungimea inițială a acesteia cu o anumită funcție trigonometrică, care se obține la rezolvarea unei mini-probleme. De fapt, există un triunghi dreptunghic în care ipotenuza este vectorul original, unul dintre catete este proiecția, iar celălalt catete este perpendiculara căzută.

VECTORI... ACȚIUNIDE MAI SUSVECTORI. SCALAR,

VECTOR, PRODUS MIXTE DE VECTORI.

1. VECTORI, ACȚIUNI PE VECTORI.

Definiții de bază.

Definiția 1. Se numește o cantitate pe deplin caracterizată prin valoarea sa numerică în sistemul de unități ales scalar sau scalar .

(Greutate corporală, volum, timp etc.)

Definiția 2. Se numește o mărime caracterizată printr-o valoare numerică și o direcție vector sau vector .

(Deplasare, putere, viteză etc.)

Denumiri:, sau,.

Un vector geometric este o linie de direcție.

Pentru un vector - un punct A- punctul de inceput V- sfârșitul vectorului.

Definiția 3.Modul vector este lungimea segmentului AB.

Definiția 4. Se numește un vector al cărui modul este egal cu zero zero , indicat de.

Definiția 5. Se numesc vectori situati pe linii paralele sau pe o singura linie coliniare ... Dacă doi vectori coliniari au aceeași direcție, atunci se numesc co-regizat .

Definiția 6. Se consideră doi vectori egal , dacă ei co-regizat și sunt egale în valoare absolută.

Acțiuni asupra vectorilor.

1) Adunarea vectorilor.

Def. 6.Suma doi vectori și este diagonala paralelogramului construit pe acești vectori, pornind de la punctul comun de aplicare a acestora (regula paralelogramului).

Fig. 1.

Def. 7. Suma a trei vectori,, se numește diagonala paralelipipedului construit pe acești vectori (regula cutiei).

Def. opt. Dacă A, V, CU - puncte arbitrare, apoi + = (regula triunghiului).

fig. 2

Proprietăți de adaos.

1 O . + = + (legea transpozițională).

2 O . + (+) = (+) + = (+) + (legea combinației).

3 O . + (– ) + .

2) Scăderea vectorilor.

Def. 9. Sub diferență vectori și înțelegerea vectorului = - astfel încât + = .

Într-un paralelogram, acesta este altul diagonală SD (vezi Figura 1).

3) Înmulțirea unui vector cu un număr.

Def. 10. După produs vectori pe scalar k se numeste vector

= k = k ,

lung ka , și direcția căreia:

1.coincide cu direcția vectorului dacă k > 0;

2.Opus directiei vectorului, daca k < 0;

3. în mod arbitrar dacă k = 0.

Proprietățile înmulțirii unui vector cu un număr.

1 O . (k + l ) = k + l .

k ( + ) = k + k .

2 o . k (l ) = (kl ) .

3 o . 1  = , (–1)  = – , 0  = .

Proprietăți vectoriale.

Def. unsprezece. Doi vectori și se numesc coliniare dacă sunt situate pe linii paralele sau la o linie dreaptă.

Un vector nul este coliniar cu orice vector.

Teorema 1. Doi vectori nenuli și coliniar,  când sunt proporționale adică.

= k , k Este un scalar.

Def. 12. Se numesc trei vectori,, coplanare dacă sunt paralele cu un plan sau se află în el.

Teorema 2. Trei vectori diferit de zero, coplanar,  când una dintre ele este o combinație liniară a celorlalte două, adică.

= k + l , k , l - scalari.

Proiecția vectorului pe axă.

Teorema 3. Proiecția unui vector pe o axă (linie dreaptă direcționată) l este egal cu produsul dintre lungimea vectorului și cosinusul unghiului dintre direcția vectorului și direcția axei, i.e. = A  c os  ,  = ( , l).

2. COORDONATE VECTORALE

Def. treisprezece. Proiectii vectoriale pe axe de coordonate Oh, OU, Оz sunt numite coordonate vectoriale. Denumire:  A X , A y , A z .

Lungimea vectorului:

Exemplu: Calculați lungimea vectorului.

Soluţie:

Distanța dintre puncte și calculat prin formula: .

Exemplu: Aflați distanța dintre punctele M (2,3, -1) și K (4,5,2).

Acțiuni asupra vectorilor sub formă de coordonate.

Vectori dați =  A X , A y , A z și =  b X , b y , b z .

1. (  )= A X  b X , A y  b y , A z  b z .

2.  =   A X ,  A y ,  A z, unde  Este un scalar.

Produsul punctual al vectorilor.

Definiție: Sub produsul scalar a doi vectori și

este înțeles ca un număr egal cu produsul lungimilor acestor vectori prin cosinusul unghiului dintre ei, adică. = , este unghiul dintre vectori și.

Proprietățile produsului punct:

1.  =

2. ( + ) =

3.

4.

5. , unde sunt scalari.

6.doi vectori sunt perpendiculari (ortogonali) daca .

7.dacă și numai dacă .

Produsul punctual sub formă de coordonate este: , unde si .

Exemplu: Găsiți produsul scalar al vectorilor și

Soluţie:

Vector care deține vectori.

Definiție: Produsul vectorial al doi vectori este înțeles ca un vector pentru care:

Modulul este egal cu aria paralelogramului construit pe acești vectori, adică. , unde unghiul dintre vectori și

Acest vector este perpendicular pe vectorii înmulțiți, adică.

Dacă vectorii nu sunt coliniari, atunci formează tripletul corect al vectorilor.

Proprietățile produsului vectorial:

(1) Când se modifică ordinea factorilor, produsul vectorial își schimbă semnul în sens opus, păstrând modulul, i.e.

2 .Pătratul vectorial este egal cu vectorul zero, adică.

3 Factorul scalar poate fi mutat în afara semnului produsului vectorial, i.e.

4 Pentru oricare trei vectori, egalitatea

5 O condiție necesară și suficientă pentru coliniaritatea a doi vectori și:

Produs vectorial sub formă de coordonate.

Dacă coordonatele vectorilor şi , atunci produsul lor încrucișat este găsit prin formula:

.

Apoi, din definiția unui produs vectorial rezultă că aria unui paralelogram construit pe vectori și se calculează prin formula:

Exemplu: Calculați aria unui triunghi cu vârfuri (1; -1; 2), (5; -6; 2), (1; 3; -1).

Soluţie: .

Apoi aria triunghiului ABC va fi calculată după cum urmează:

,

Produs mixt al vectorilor.

Definiție: Un produs mixt (vector-scalar) al vectorilor este un număr determinat de formula: .

Proprietăți mixte de lucru:

1. Produsul amestecat nu se modifică sub permutarea ciclică a factorilor săi, adică .

2. La permutarea a doi factori adiacenți, produsul amestecat își schimbă semnul în sens opus, adică. ...

3 O condiție necesară și suficientă pentru coplanaritatea a trei vectori : =0.

4 Produsul mixt a trei vectori este egal cu volumul paralelipipedului construit pe acești vectori, luat cu semnul plus dacă acești vectori formează un triplu drept și cu un semn minus dacă formează un triplu stâng, adică. .

Daca este cunoscut coordonate vectori , atunci munca mixtă se găsește prin formula:

Exemplu: Calculați produsul mixt al vectorilor.

Soluţie:

3. Baza sistemului de vectori.

Definiție. Un sistem de vectori este înțeles ca mai mulți vectori aparținând aceluiași spațiu R.

Cometariu. Dacă sistemul constă dintr-un număr finit de vectori, atunci aceștia sunt notați cu aceeași literă cu indici diferiți.

Exemplu.

Definiție. Orice vector de forma = numită combinație liniară de vectori. Numerele sunt coeficienții combinației liniare.

Exemplu. .

Definiție... Dacă vectorul este o combinație liniară de vectori , atunci se spune că vectorul este exprimat liniar în termeni de vectori .

Definiție. Sistemul vectorial este numit liniar independent dacă niciunul dintre vectorii sistemului nu poate fi ca o combinație liniară a restului vectorilor. În caz contrar, sistemul se numește dependent liniar.

Exemplu... Sistem vectorial dependent liniar, deoarece vectorul .

Determinarea bazei. Un sistem de vectori formează o bază dacă:

1) este liniar independent,

2) orice vector de spațiu este exprimat liniar prin el.

Exemplul 1. Baza spatiala:.

2. În sistemul de vectori vectorii stau la baza: se exprimă liniar în termeni de vectori.

Cometariu. Pentru a găsi baza unui sistem vectorial dat, trebuie să:

1) scrieți coordonatele vectorilor în matrice,

2) folosind transformări elementare pentru a aduce matricea într-o formă triunghiulară,

3) rândurile diferite de zero ale matricei vor fi baza sistemului,

4) numărul de vectori din bază este egal cu rangul matricei.

VECTOR
În fizică și matematică, un vector este o mărime care se caracterizează prin valoarea și direcția sa numerică. În fizică, există multe cantități importante care sunt vectori, de exemplu, forța, poziția, viteza, accelerația, cuplul, impulsul, puterea câmpurilor electrice și magnetice. Ele pot fi contrastate cu alte cantități precum masa, volumul, presiunea, temperatura și densitatea, care pot fi descrise prin numărul obișnuit, și sunt numite „scalari”. Notația vectorială este utilizată atunci când se lucrează cu valori care nu pot fi specificate complet folosind numere obișnuite. De exemplu, dorim să descriem poziția unui obiect relativ la un anumit punct. Putem spune câți kilometri de la un punct la un obiect, dar nu putem determina complet locația acestuia până când nu cunoaștem direcția în care se află. Astfel, locația unui obiect este caracterizată prin valoare numerică (distanța în kilometri) și direcție. Grafic, vectorii sunt reprezentați ca segmente de linie dreaptă direcționată de o anumită lungime, ca în Fig. 1. De exemplu, pentru a reprezenta grafic o forță de cinci kilograme, trebuie să desenați un segment de linie dreaptă lungă de cinci unități în direcția forței. Săgeata indică faptul că forța acționează de la A la B; dacă forța a acționat de la B la A, atunci am scrie sau Pentru comoditate, vectorii sunt de obicei notați cu majuscule aldine (A, B, C și așa mai departe); vectorii A și -A au valori numerice egale, dar de sens opus. Valoarea numerică a vectorului A se numește modul sau lungime și se notează cu A sau | A |. Această cantitate este, desigur, un scalar. Un vector al cărui început și sfârșit coincid se numește zero și este notat cu O.

Doi vectori sunt numiți egali (sau liberi) dacă modulele și direcțiile lor coincid. În mecanică și fizică, această definiție, totuși, trebuie folosită cu prudență, deoarece două forțe egale aplicate în puncte diferite ale corpului în cazul general vor duce la rezultate diferite. În acest sens, vectorii sunt clasificați în „legați” sau „alunecatori”, după cum urmează: Vectorii legați au puncte fixe de aplicare. De exemplu, un vector rază indică poziția unui punct în raport cu o origine fixă. Vectorii înrudiți sunt considerați egali dacă nu numai că au aceleași module și direcții, dar au și un punct comun de aplicare. Vectorii de alunecare sunt vectori egali situati pe o linie dreapta.
Adăugarea vectorilor. Ideea de a adăuga vectori a apărut din faptul că putem găsi un singur vector care are același efect ca și ceilalți doi vectori împreună. Dacă, pentru a ajunge la un anumit punct, trebuie să mergem mai întâi A kilometri într-o direcție și apoi B kilometri în cealaltă direcție, atunci am putea ajunge la punctul nostru final după ce am depășit C kilometri în a treia direcție (Fig. 2) . În acest sens, putem spune că

Putem adăuga orice număr de vectori, iar ordinea termenilor nu afectează rezultatul. Este adevărat și invers: orice vector este descompus în două sau mai multe „componente”, adică. în doi sau mai mulți vectori, care, atunci când sunt adăugați, vor da vectorul original ca rezultat. De exemplu, în Fig. 2, A și B sunt componentele C. Multe operații matematice cu vectori sunt simplificate dacă vectorul este descompus în trei componente în trei direcții reciproc perpendiculare. Să alegem un sistem de coordonate carteziene cu axele Ox, Oy și Oz, așa cum se arată în Fig. 5. Prin sistemul de coordonate drept, înțelegem că axele x, y și z sunt poziționate în același mod în care pot fi localizate degetul mare, arătător și, respectiv, mijlociu ale mâinii drepte. Dintr-un sistem de coordonate pentru dreapta, puteți oricând obține un alt sistem de coordonate pentru dreapta rotindu-l în consecință. În fig. 5, este prezentată descompunerea vectorului A în trei componente, iar Ele se adună la vectorul A, deoarece

Prin urmare,

De asemenea, s-ar putea adăuga mai întâi și obține și apoi adăuga la proiecțiile vectorului A pe trei axe de coordonate, notate Ax, Ay și Az sunt numite „componente scalare” ale vectorului A:

unde a, b și g sunt unghiurile dintre A și cele trei axe de coordonate. Acum introducem trei vectori de lungime unitară i, j și k (vectori unitari), având aceeași direcție cu axele corespunzătoare x, y și z. Atunci, dacă Ax este înmulțit cu i, atunci produsul rezultat este un vector egal cu și

Doi vectori sunt egali dacă și numai dacă componentele lor scalare corespunzătoare sunt egale. Astfel, A = B dacă și numai dacă Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz. Doi vectori pot fi adăugați prin adăugarea componentelor lor:

În plus, după teorema lui Pitagora:

Funcții liniare. Expresia aA + bB, unde a și b sunt scalari, se numește funcție liniară a vectorilor A și B. Este un vector în același plan cu A și B; dacă A și B nu sunt paralele, atunci când a și b se schimbă, vectorul aA + bB se va deplasa pe întregul plan (Fig. 6). Dacă A, B și C nu se află toate în același plan, atunci vectorul aA + bB + cC (a, b și c se schimbă) se deplasează în spațiu. Să presupunem că A, B și C sunt vectori unitari i, j și k. Vectorul ai se află pe axa x; vectorul ai + bj se poate deplasa de-a lungul întregului plan xy; vectorul ai + bj + ck se poate mișca în spațiu.

Și se poate continua până la cinci, șase sau orice număr de dimensiuni. Deși este imposibil de vizualizat un astfel de vector, aici nu apar dificultăți matematice. O astfel de înregistrare este adesea utilă; de exemplu, starea unei particule în mișcare este descrisă de un vector cu șase dimensiuni P (x, y, z, px, py, pz), ale cărui componente sunt poziția sa în spațiu (x, y, z) și impulsul (px, py, pz). Acest spațiu se numește „spațiu de fază”; dacă luăm în considerare două particule, atunci spațiul fazelor este de 12 dimensiuni, dacă trei, atunci 18 și așa mai departe. Numărul de dimensiuni poate fi mărit la nesfârșit; totuși, mărimile cu care ne vom ocupa se comportă aproape în același mod ca cele pe care le vom lua în considerare în restul acestui articol, și anume vectorii tridimensionali.
Înmulțirea a doi vectori. Regula de adunare vectorială a fost obținută prin studierea comportamentului cantităților reprezentate de vectori. Nu există niciun motiv aparent pentru care doi vectori nu ar putea fi înmulțiți în niciun fel, dar această înmulțire va avea sens doar dacă îi puteți arăta consistența matematică; în plus, este de dorit ca lucrarea să aibă un anumit sens fizic. Există două moduri de a multiplica vectorii care îndeplinesc aceste condiții. Rezultatul unuia dintre ei este un scalar, un astfel de produs se numește „produs punctual” sau „produs interior” a doi vectori și se scrie ABB sau (A, B). O altă înmulțire are ca rezultat un vector numit „produs vectorial” sau „produs exterior” și se scrie A * B sau []. Produsele punctuale au semnificație fizică pentru una, două sau trei dimensiuni, în timp ce produsele vectoriale sunt definite doar pentru trei dimensiuni.
Produse scalare. Dacă, sub acţiunea unei forţe F, punctul în care se aplică se deplasează pe o distanţă r, atunci munca efectuată este egală cu produsul lui r şi componenta F pe direcţia r. Această componentă este egală cu F cos bF, rc, unde bF, rc este unghiul dintre F și r, adică. Munca efectuata = Fr cos bF, rc. Acesta este un exemplu de justificare fizică a produsului scalar definit pentru oricare doi vectori A, B prin intermediul formulei
A * B = AB cos bA, Bc.
Deoarece toate mărimile din partea dreaptă a ecuației sunt scalare, atunci A * B = B * A; prin urmare, înmulțirea scalară este comutativă. Înmulțirea scalară are și proprietatea de distributivitate: A * (B + C) = A * B + A * C. Dacă vectorii A și B sunt perpendiculari, atunci cos bA, Bc este egal cu zero și, prin urmare, A * B = 0, chiar dacă nici A și nici B nu sunt egali cu zero. De aceea nu putem împărți prin vector. Să presupunem că am împărțit ambele părți ale ecuației A * B = A * C la A. Asta ar da B = C, iar dacă s-ar putea face împărțirea, atunci această egalitate ar fi singurul rezultat posibil. Totuși, dacă rescriem ecuația A * B = A * C ca A * (B - C) = 0 și ne amintim că (B - C) este un vector, atunci este clar că (B - C) nu este neapărat zero și, prin urmare, B nu trebuie să fie egal cu C. Aceste rezultate contradictorii arată că diviziunea vectorială este imposibilă. Produsul punctual oferă un alt mod de scriere a valorii numerice (modulul) unui vector: A * A = AA * cos 0 ° = A2;
De aceea

Produsul punctual poate fi scris în alt mod. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că: A = Ax i + Ayj + Azk. observa asta

Atunci,

Deoarece ultima ecuație conține x, y și z ca indice, ecuația aparent depinde de sistemul de coordonate ales. Cu toate acestea, nu este cazul, așa cum se poate vedea din definiție, care este independentă de axele de coordonate selectate.
Opere de artă vectorială. Un vector sau produs extern al vectorilor este un vector al cărui modul este egal cu produsul modulelor lor cu sinusul unui unghi perpendicular pe vectorii inițiali și formând împreună cu ei triplul drept. Acest produs este cel mai ușor de introdus luând în considerare relația dintre viteză și viteza unghiulară. Primul este un vector; vom arăta acum că acesta din urmă poate fi interpretat și ca vector. Viteza unghiulară a unui corp în rotație se determină după cum urmează: selectați orice punct de pe corp și trageți o perpendiculară din acest punct pe axa de rotație. Atunci viteza unghiulară a corpului este numărul de radiani cu care această linie s-a rotit pe unitatea de timp. Dacă viteza unghiulară este un vector, aceasta trebuie să aibă o valoare numerică și o direcție. Valoarea numerică este exprimată în radiani pe secundă, direcția poate fi aleasă de-a lungul axei de rotație, o puteți determina direcționând vectorul în direcția în care s-ar mișca șurubul dreptaci la rotirea cu corpul. Luați în considerare rotația unui corp în jurul unei axe fixe. Dacă setăm această axă în interiorul unui inel, care, la rândul său, este fixat pe o axă introdusă în interiorul altui inel, putem roti corpul în interiorul primului inel cu o viteză unghiulară w1 și apoi facem inelul interior (și corpul) să se rotească la un viteza unghiulara w2. Figura 7 ilustrează punctul; săgețile circulare arată direcțiile de rotație. Acest corp este o sferă solidă cu centrul O și raza r.

Orez. 7. O SFERĂ CENTRATĂ O, se rotește cu o viteză unghiulară w1 în interiorul unui inel BC, care, la rândul său, se rotește în interiorul unui inel DE cu o viteză unghiulară w2. Sfera se rotește cu o viteză unghiulară egală cu suma vitezelor unghiulare, iar toate punctele de pe linia dreaptă POP „se află într-o stare de repaus instantaneu.

Această distanță este zero dacă

În acest caz, punctul P se află într-o stare de repaus instantaneu și, în același mod, toate punctele de pe linia POP. „Restul sferei va fi în mișcare (cercurile de-a lungul cărora se mișcă alte puncte, nu se ating, ci intersectează). POPў este astfel instantaneu axa de rotație a sferei, la fel cum o roată care rulează de-a lungul drumului în fiecare moment în timp se rotește în jurul punctului său cel mai de jos. Care este viteza unghiulară a sferei? Pentru simplitate, alegem punctul A la care axa w1 intersectează suprafața.În momentul în care luăm în considerare , se mișcă în timp Dt la o distanță

În jurul unui cerc cu raza r sin w1. Prin definiție, viteza unghiulară

Din această formulă și relație (1), obținem

Cu alte cuvinte, dacă notați o valoare numerică și alegeți direcția vitezei unghiulare așa cum este descris mai sus, atunci aceste mărimi sunt adăugate ca vectori și pot fi considerate ca atare. Acum puteți introduce produsul încrucișat; considerăm un corp care se rotește cu o viteză unghiulară w. Să alegem orice punct P de pe corp și orice origine a coordonatelor O, care se află pe axa de rotație. Fie r un vector îndreptat de la O la P. Punctul P se mișcă într-un cerc cu viteza V = w r sin (w, r). Vectorul viteză V este tangent la cerc și indică în direcția prezentată în fig. opt.

Să vedem cum este scris produsul încrucișat în termeni de componente și vectori unitari. În primul rând, pentru orice vector A, A * A = AA sin 0 = 0.
Prin urmare, în cazul vectorilor unitari, i * i = j * j = k * k = 0 și i * j = k, j * k = i, k * i = j. Atunci,

Această egalitate poate fi scrisă și ca determinant: