Следующие уравнения, которые мы рассмотрим называют дифференциальными уравнениями, сводимыми к однородным
. Для студентов они достаточно болезненны, поскольку трудно идентифицировать такого рода ДУ с первого взгляда. Другая проблема - не все могут изучить и знать, когда и какую схему следует применять.
Однако схема вычислений достаточно хорошо описана в книгах и дает возможность найти решение ДУ первого порядка, хоть при этом приходится выполнять массу вычислений. Чтобы не пугать Вас теорией сразу перейдем к анализу готовых ответов из которых все станет ясно.
Пример 1
Решение:
Перед нами совсем другой тип дифференциальных уравнений первого порядка чем те, что были рассмотрены ранее. Схема вычислений
тоже отличается, сначала необходимо определить стационарную точку
- для этого необходимо найти нули числителя и знаменателя.
Составим и решим систему уравнений:
Стационарной точкой является М(-1;1)
.
Далее выполняем замену переменных (смещение координат)
отсюда исходное ДУ превратим до однородного дифференциального уравнения
или
Выполним замену переменных и найдем дифференциал через новую переменную
Подставляя в уравнение, получим простую для вычислений зависимость
которую легко сводим к
Далее интегрируем обе части
и находим 
Возвращаясь к самой первой замене получим
где - произвольная константа.
Вот в таком виде получили решение дифференциального уравнения.
Хорошо разберите приведенную схему вычислений, она для студентов на цену золота.
Пример 2
Найти общий интеграл уравнения
Решение:
Данное дифференциальное уравнение первого порядка имеет достаточно простое решение, однако не каждый студент без шпаргалки или методички может найти ответ самостоятельно.
Методика сведения уравнения к однородному ДУ
заключается в следующих действиях: находим особую точку
(нули числителя и знаменателя дроби).
Для этого решаем систему линейных уравнений
Далее вводим замену переменных 
Единицы справа являются решениями системы уравнений.
Наше первоначальное дифференциальное уравнение в новых переменных будет иметь запись 
Именно для упрощения и решали систему уравнений.
Далее необходимо выполнить замену переменных
тогда
После замены полученное ДУ можем свести к уравнению с разделенными переменными
Проинтегрировав обе части формулы
сначала придем к логарифмам
Далее экспонированием обеих частей получим зависимость вида
Возвращаясь к начальной замене переменных, получим решение ДУ в новых переменных
а дальше окончательный 
Здесь С=const
- произвольная действительная константа, которая может бить определена из условия Коши.
Вот так сложно бывает иногда получить общее решение дифференциального уравнения.
Пример 3
Решить дифференциальное уравнение
Решение:
Имеем ДУ первого порядка оторое можем свести к однородному дифференциальному уравнению. Для этого составим систему уравнений из условия равенства нулю числителя и знаменателя дроби
Зная координаты точки, выполняем перенос системы координат 
Исходное дифференциальное уравнение при этом преобразуется к виду
или
Далее следует сделать замену переменных z=Y/X, Y=z*X,
при этом производная равна
Подставим ее в уравнение и разделим переменные, так получим ДУ с разделенными переменными
Интегрируя дифференциальное уравнение приходим к логарифмическому
Далее экспонируем полученную зависимость, предварительно сведя логарифмы в правой части по формуле произведения 
Возвращаясь к замене переменных (z)
получим решение
которое после повторной замены приобретет понятный вид
Перенеся единицу вправо
получим
Здесь разобраны только 3 примеры, однако схему вычислений они описывают в полной мере. Теперь Вы знаете, что делать с уравнениями сводными к однородным и после самостоятельной работы с подобными примерами не будете иметь трудностей на контрольных и экзаменах. В следующем уроке Вас ждет еще масса готовых ответов для изучения других дифференциальных уравнений первого порядка и схем решения.
Функция f(x, y) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных х и у, если при любом справедливо тождество
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным относительно х и у , если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у.
Решение однородного дифференциального уравнения.
Так как по условию 
. Положим , получим 
, т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов. А само уравнение в этом случае примет вид .
Сделаем подстановку ; т.е. , тогда , подставим в исходное уравнение 
- это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными 
Уравнение вида
(1)
можно свести к однородному типу.
Общий вид преобразований.
Для того, чтобы привести уравнение (1) к однородному типу дифференциальных уравнений надо составить систему вида:
Первый случай.
Эта система имеет решение.
Пусть решение этой системы:
.
Тогда, для приведения уравнения (1) к однородному типу необходимо сделать подстановку вида
Второй случай.
Напомним. Уравнение
Приводим к однородному типу, составили систему ,
а решений эта система не имеет.
В этом случае следует сделать замену 
.
6. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли. Уравнения Бернулли .
Неоднородное дифференциальное уравнение - дифференциальное уравнение (обыкновенное или в частных производных), которое содержит тождественно не равный нулю свободный член - слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.
Линейное уравнение первого порядка в стандартной записи имеет вид
Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:
называется уравнением Бернулли (при или получаем неоднородное или однородное линейное уравнение).
Подберем так, чтобы было
для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения получаем уравнение 
- уравнение с разделяющимися переменными.
7. Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка методом вариации произвольной постоянной .
Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена - слагаемого, не зависящего от неизвестной функции. Так, можно говорить, что уравнение - однородно, если .
В случае, если , говорят о неоднородном дифференциальном уравнении
Уравнение вида 
называется линейным неоднородным уравнением.
Уравнение вида
называется линейным однородным уравнением.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Дифференциальное уравнение – уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Решение – функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Если искомая функция зависит от одной переменной – ДУ называют обыкновенным, в противном случае – ДУ в частных производных. Наивысший порядок
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши, теорема о существовании и единственности ее решения. Общее, частное решение (интеграл), особое решение.
F(x;y;y ’ )=0 – ДУ 1-го порядка(1)
y ’ =f(x;y) ДУ, разрешенное относительно производной(2)
P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 – дифференциальная форма(3)
Задача отыскания решения ДУ 1-го порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию (y(x 0)=y 0), называется задачей Коши.
Т. Если в уравнении (2) функция f(x;y) и …
ее частная производная f y ’
(x;y) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (x 0 ;y 0), то существует единственное решение y=φ(x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию.
Общее решение — функция y=φ(x;с) содержащая произвольную постоянную.
Частное решение – функция y=φ(x;с 0) полученная из общего решения при значении постоянной с=с 0 .
Если общее решение найдено в неявном виде Ф(x;y;c)=0, то оно называется общим интегралом ДУ. А Ф(x;y;c 0)=0 частный интеграл уравнения.
Функция φ(x;c) называется особым решением дифференциального уравнения F(x,y,y’) = 0, если единственность решения нарушается в каждой точке этой функции в области определения дифференциального уравнения.
Геометрическая интерпретация ДУ 1-го порядка. Метод изоклин
Уравнение y ’ =f(x;y) устанавливает связь между координатами точки и угловым коэффициентом y ’ касательной к интегральной кривой. ДУ дает поле направлений на плоскости Оxy. Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины f(x;y)=с.
Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение с разделенными переменными: P(x)dx+Q(y)dy=0
Общий интеграл ДУ:
Уравнение с разделяющимися переменными: P 1 (x)Q 1 (y)dx+P 2 (x)Q 2 (y)dy=0
Однородные ДУ. Уравнения сводящиеся к однородным
Функция f(x;y) называется однородной функцией n-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножится на λ n , т.е. f(λ x; λ y)= λ n f(x;y). ДУ y ’ =f(x;y) называется однородным если функция f(x;y) есть однородная ф-я нулевого порядка
P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 дифференциальная форма однородного ДУ
Уравнение вида можно свести к однородному типу. Нужно составить систему вида:
Пусть решение этой системы:
Тогда, для приведения уравнения к однородному типу необходимо сделать подстановку вида
Если система не имеет решения следует сделать замену .
К однородным уравнениям первого порядка приводится уравнение вида:
(1)
,
где f
- функция.
Как определить, что дифференциальное уравнение приводится к однородному
Для того, чтобы определить, что дифференциальное уравнение приводится к однородному, нужно выделить две линейные формы:
a 1
x + b 1
y + c 1
,
a 2
x + b 2
y + c 2
,
и выполнить замену:
a 1
x + b 1
y + c 1
→ t (a 1
x + b 1
y + c 1
)
;
a 2
x + b 2
y + c 2
→ t (a 2
x + b 2
y + c 2
)
.
Если, после преобразований, t
сократится, то это уравнение приводится к однородному.
Пример
Определить, приводится ли данное дифференциальное уравнение к однородному:
.
Решение
Выделяем две линейные формы:
x + 2
y + 1
и x + 4
y + 3
.
Первую заменим на t (x + 2
y + 1)
,
вторую - на t (x + 4
y + 3)
:
.
По свойству логарифма:
.
t
сокращается:
.
Следовательно, это уравнение приводится к однородному.
Решение дифференциального уравнения, приводящегося к однородному уравнению
Решаем систему уравнений:
(2)
Здесь возможны три случая.
1)
Система (2)
имеет бесконечное множество решений (прямые a 1
x + b 1
y + c 1 = 0
и a 2
x + b 2
y + c 2 = 0
совпадают). В этом случае
;
.
Тогда
.
Это простейший вид уравнения с разделяющимися переменными :
.
Его решение:
y = Ax + C
.
2)
Система (2)
не имеет решений (прямые a 1
x + b 1
y + c 1 = 0
и a 2
x + b 2
y + c 2 = 0
параллельны). В этом случае a 1
b 2
= a 2
b 1
.
Применим это соотношение.
.
Это означает, что a 2
x + b 2
y + c 2
является функцией от a 1
x + b 1
y + c 1
.
Поэтому является функцией от a 1
x + b 1
y + c 1
.
То есть f
является функцией от a 1
x + b 1
y + c 1
.
Обозначим такую функциею как g
.
Тогда исходное уравнение (1)
имеет вид:
.
Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой
z = a 1
x + b 1
y + c 1
.
3)
Система (2)
имеет одно решение (прямые a 1
x + b 1
y + c 1 = 0
и a 2
x + b 2
y + c 2 = 0
пересекаются в одной точке). Обозначим это решение как x 0
, y 0
.
Тогда
(3)
Делаем подстановку x = t + x 0
,
y = u + y 0
,
где u
- это функция от t
.
Тогда
dx = dt, dy = du
;
.
Или
.
Это однородное дифференциальное уравнение первого порядка . Оно решается подстановкой u = z t
,
где z
- это функция от t
.
Пример решения дифференциального уравнения, приводящегося к однородному уравнению первого порядка
Решить уравнение
(П.1) .
Решение
1)
Проверим, приводится ли это дифференциальное уравнение к однородному. Для этого выделяем две линейные формы:
2
x - y + 4
и x - 2
y + 5
.
Первую заменим на t (2
x - y + 4)
,
вторую - на t (x - 2
y + 5)
:
.
Делим на t
:
.
t
сократилось, поэтому это уравнение приводится к однородному.
2)
Решаем систему
Из первого уравнения y = 2
x + 4
.
Подставляем во второе:
x - 2(2
x + 4) + 5 = 0
;
x - 4
x - 8 + 5 = 0
;
- 3
x = 3
;
x = -1
;
y = 2
x + 4 = 2·(-1) + 4 = 2
.
Итак, мы нашли решение системы:
x 0 = -1
,
y 0 = 2
.
3)
Делаем подстановку:
x = t + x 0
= t - 1
;
y = u + y 0
= u + 2
,
где u
- функция от t
.
dx = dt, dy = du
,
;
;
.
Подставляем в (П.1)
:
(П.2)
.
Это - однородное уравнение.
4)
Решаем однородное уравнение (П.2)
. Делаем подстановку:
u = z · t
,
где z
- функция от t
.
u′ = (z · t)
′ = z′t + z t′ = z′t + z
.
Подставляем в (П.2)
:
.
Сокращаем на t
и выполняем преобразования:
;
;
.
Разделяем переменные - умножаем на dt
и делим на t (z 2 - 1)
.
При z 2 ≠ 1
получаем:
.
Интегрируем:
(П.3)
.
Вычисляем интегралы:
;
.
Подставляем в (П.3)
:
.
Умножим на 2 и потенцируем:
;
.
Заменим постоянную e 2
C → C
.
Раскроем знак модуля, поскольку нужный знак обеспечивается выбором знака постоянной C
. Умножим на (z + 1) 2
и применим формулу: z 2 - 1 = (z - 1)(z + 1)
.
.
Сократим на (z - 1)
:
.
Возвращаемся к переменным u
и t
,
используя формулу: u = z t
.
Для этого умножим на t
:
;
;
.
Возвращаемся к переменным x
и y
,
используя формулы: t = x + 1
,
u = y - 2
.
;
(П.4)
.
Теперь рассмотрим случай z 2 = 1
или z = ±1
.
;
.
Для верхнего знака «+» имеем:
;
.
Это решение входит в общий интеграл (П.4)
при значении постоянной C = 0
.
Для нижнего знака «-»:
;
.
Эта зависимость также является решением исходного дифференциального уравнения, но не входит в общий интеграл (П.4)
. Поэтому к общему интегралу добавим решение
.
Ответ
;
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.